由递推关系 X1 = a 和 X(n+1) = f(Xn) 确定数列极限常用方法

方法一（数列具有单调性）

1. 先证数列 \({x_n}\) 收敛（常用单调有界准则）
2. 令 \(limx_n=A\)，等式两端取极限的 \(A=f(A)\)，解得 \(A\)
3. 下结论

方法二（数列不具有单调性）——“先斩后奏”

1. 令 \(limx_n=A\)
2. \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两端取极限解得 \(A\)
3. 证明极限 \(limx_n=A\)，即构造 \(|x_n−A|\) 再进行推导

单调性判定有三法：

1. 若 \(x_{(n+1)}−x_n≥0(≤0)\) ，则 \({x_n}\) 单调增（减）

2. 设 \({x_n}\) 不变号
   a. 若 \(x > 0\)，则当 \({x_{n+1}\over x_n} ≥ 1(≤ 1)\) 时，\({x_n}\) 单调递增（减）
   b. 若 \(x < 0\)，则当 \({x_{n+1}\over x_n} ≥ 1(≤ 1)\) 时，\({x_n}\) 单调递减（增）

   注： 由 \(x_{n+1} − x_n\) 与 \(x_n − x_{n−1}\) 同号，即可判定 \({x_n}\) 单调。

3. 设数列 \({x_n}\)，由 \(x_1\) 和 \(x_{n+1}=f(x_n) (n=1,2,…)\), \(x_n∈I\) 所确定
   a. 若 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单增，则

   • 当 \(x_1 ≤ x_2\) 时，\({x_n}\) 单调递增；
   • 当 \(x_1 ≥ x_2\) 时，\({x_n}\) 单调递减；

   b. 若 \(f(x)\) 在 \(I\) 上 单调递减，则 \({x_n}\) 不单调