复健。（10月，OI）

1

IAMOI 击倒了我。

P14113 [IAMOI R4] 彻底怒了

我草，P14113 彻底怒了。P14113 指出了最核心的矛盾点：如果你没有清空 cur 时忘记再加入处理的字符，怎么可能无法通过该题？这确实是我的严重错误。我需要彻底承认我连黄题都不会做，想办法把 CSP-S 糊弄过去。

2

P11234 [CSP-S 2024] 擂台游戏

先挂在这里，一会再写。

3

P14139 「SFMOI Round II」Strange Counting Game

先挂在这里，一会再写。

4

abc426_e Closest Moment

先挂在这里，一会再写。

5~8

补作业了。

9

卢卡斯定理忘了，再写一遍。

对于素数 \(p\)，有：

\[\binom{n}{m}=\binom{\lfloor n/p\rfloor}{\lfloor m/p\rfloor}\binom{n\bmod p}{m\bmod p} \]

规定 \(n<m\) 时，\(\binom{n}{m}=0\)。

10

CodeForces 1304C Air Conditioner

显然对于能够取到的温度区间 \([l,r]\)，在 \(t\) 秒后能够取到的温度区间为 \([l-t,r+t]\)。

从头开始，每次遇到顾客就取一次交集，只要最后不为空集即为 YES，否则为 NO。

CodeForces 1325D Ehab the Xorcist

考虑到加和比异或和多出的部分即为进位。对每一个 bit 记录一个数表示 \(1\) 的个数，先将异或和的每一位填进去，再算出加和与异或和的差 \(d\)。对于 \(d\) 的每一个 \(1\)，原位置低一位的位置填入两个 \(1\)，最后任意组合出数组即可。注意当异或和大于加和或者 \(d\) 的最低位为 \(1\) 时一定不合法。

CodeForces 1338B Edge Weight Assignment

先考虑最小值：将某个叶子拉起作为根，如果剩下的叶子到根的距离均为偶数时，那么可以将同一个数都填在路上，答案为 \(1\)；否则需要拿出两个 bit，并且这两个 bit 为 \(1\) 的道路集合有交集，答案为 \(3\)。

再考虑最大值：我们可以将每个非叶子节点的周围所有道路权值的某个 bit 赋值为 \(1\)，这样可以保证进出这个节点后这个 bit 仍为 \(0\)。对于所有叶子的父节点来说，会有 \(\deg-1\) 条路的权值相同，即会给总种数减去 \(\deg-2\)。计算所有叶子父亲的 \(\deg-2\) 之和 \(s\)，答案即为 \(n-s-1\)。

CodeForces 1385D a-Good String

对于所有长度为 \(2^k\le n,k\in\mathbf{N}\) 的字符串记录变为某个字符的操作数最小值 \(f_{c,k,i}\) 和成为某个字符-优的操作数最小值 \(g_{c,k,i}\)，显然有：

\[f_{c,k,i}=\min(f_{c+1,k-1,i}+g_{c,k-1,i+2^{k-1}},g_{c,k-1,i}+f_{c,k-1,i+2^{k-1}}) \]

\[g_{c,k,i}=g_{c,k-1,i}+g_{c,k-1,i+2^{k-1}} \]

从 \(k=0\) 开始递推即可。

11

CodeForces 1428D Bouncing Boomerangs

记 \(x\rightarrow\dots\) 为从弹 \(x\) 下的列到其他列。

显然有 \(\dots\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\) 和 \(\dots\rightarrow3\rightarrow1\)，直接找这些即可。

12

出了一道题。

13

今天没学 OI。

14~15

开学考。

16

Orac and Medians

显然有两个距离小于 \(2\) 的大于 \(m\) 数可以做到，否则不行。

17

P8092 [USACO22JAN] Drought B

先走一遍将序列变成单增的，在反向来一遍即可。

18

P14253 旅行（trip）

首先我们注意到一个显然的性质：当选择的区间左端点 \(l\) 固定时，选择越大的 \(r\) 一定不劣，因此我们只需要统计选取 \(l∈[1,n],r=n\) 时的所有区间的答案。

套路地，考虑从后往前做。利用差分思想，我们注意到一个前缀 \(a_{l}\sim i\) 的和为 \(0\) 等价于 \(a_{i+1}\sim n\) 的和减去 \(a_{i+1}\sim n\) 的差是否为 0，那么 \(a_l\sim n，a_{i+1}\sim n\) 的值都容易计算，因此我们可以直接使用 map 来维护从而计算出答案。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

19

写冬日绘板了。

20

P14253 旅行（trip）

考虑到选取 \([l,r]\) 为将每个前缀和减去 \(\sum\limits_{i=1}^{l-1}a_i\)，用 map 统计即可。

21

P14255 列车（train）

赛时狂肝问号小时，最后喜提 \(0\) pts，并且没时间打暴力了，最终喜提总分 \(100\) pts。遂写题解祭之。

感谢 @zhuoheng, @Strelizia_ 指出笔误。感谢 @K_yuxiang_rose 解答文末的疑惑。

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显然每个 \(S_i\) 集合都是一段区间，设为 \([l_i,r_i]\)。

首先可以观察到所有选择的点必定在同一层内（即深度一样）。
:::success[证明也很简单]
若不然，则必存在一个 \(j\) 使得 \(d_{b_j}>d_{b_1}\)。

则 \(\bigcap\limits_{i=2}^{k+1}S_i=[\max\limits_{i=2}^{k+1}l_i,\min\limits_{i=2}^{k+1}r_i]\) 的下界必然 \(\ge d_{b_j}>d_{b_1}\)，\(S_1\) 的下界是 \(d_{b_1}\)，因此与 \(S_1=\bigcap\limits_{i=2}^{k+1}S_i\) 矛盾。证毕。
:::

于是转为了层内问题，每层互相独立，可以分开考虑。

预处理每个点的深度 \(\mathrm{dep}_i\)（为了方便分层）和以 \(i\) 为根的子树内所有点的最大深度（俗称 \(i\) 点的高度）\(\mathrm{mxdep}_i\)。这个很容易 DFS 求出，也可以直接扫。下文中为了方便，将 \(\mathrm{mxdep}_i\) 称作 \(a_i\)。

不难发现 \(S_1=\bigcap\limits_{i=2}^{k+1}S_i\) 等价于 \(r_1=\min\limits_{i=2}^{k+1}r_i\)，因为所有点都在同一层，下界自然相等，只需保证上界即可。

场上我想到这里就变得混乱了。做了 \(114514\) 种分类讨论，脑子成了【】，于是光荣爆零。其实下面的分讨并不难。

设当前的数是 \(a_i\)，\(>a_i\) 的数有 \(s\) 个，\(=a_i\) 的数有 \(t\) 个。需要 \(t\ge2\)，否则不存在 \(a_i=a_1\)，\(\min\) 就无法取到了。对 \(\min\) 在哪里取到进行分讨：

• 在前 \(k\) 颗树，即劈出来的树中取到。
  • 则至少存在一个 \(r_i(2\le i\le k)=r_1\)，且所有选的 \(r_i\) 都 \(\ge r_1\)。
  • 正着计算需要枚举有几个 \(r_i=r_1\)，很繁琐，所以容斥。
  • 需要在 \(s+t-1\)（所有 \(\ge a_i\) 的数，扣掉作为 \(S_1\) 的那一个）中选择 \(k-1\) 个（同样扣掉作为 \(S_1\) 的那一个），扣掉从 \(s\) 个（所有 \(>a_i\) 的数）中选 \(k-1\) 个的情况，总共 \(A_{s+t-1}^{k-1}-A_s^{k-1}\)。
  • 由于 \(r_1\) 可以在相等的这 \(t\) 个中任意选，所以答案为 \(t\times(A_{s+t-1}^{k-1}-A_s^{k-1})\)。
• 在第 \(k+1\) 颗树，即剩下来的树中取到。
  • 则所有 \(r_i>r_1\)，且 \(r_{k+1}=r_1\)。
  • 需要恰好 \(s=k-1\) 才行，若 \(s\) 偏小则后面没有这么多数用来填 \(r_2\sim r_k\)，若 \(s\) 偏大则必然有 \(>a_i\) 的数填进了 \(r_{k+1}\) 中，\(r_{k+1}>r_1\)。
  • \(r_1\) 可以在相等的这 \(t\) 个中任意选，同时 \(r_2\sim r_k\) 可以任意排列，答案为 \(t\times(k-1)!\)。

综上，这题做完了。预处理阶乘与阶乘逆元即可在 \(\Theta(n\log n)\) 的时间内 AC，瓶颈在排序，所以是可以做到线性的，不过没必要。

22

P11790 [JOI 2017 Final] 焚风现象 / Foehn Phenomena

在差分数组上改即可。

23~26

噩梦。

27

28

B. takeout 外卖公司

⼆分答案 \(\mathrm{mid}\)，问题转化成：判断能不能在不超过 \(\mathrm{mid}\) 的天数内完成所有订单。
维护⼀个订单的堆，优先级是按照订单的距离从⼤到⼩。⼀开始堆是空的。
将所有距离型骑⼿的订单按照能配送的重量从⼤到⼩排序。
然后枚举这类骑⼿，当枚举到骑⼿时，我们将范围内的订单push到堆中。
此时骑⼿能完成堆中的任何订单，那么最优的⽅案是，从堆中取出距离最⼤的个订单，分配给骑⼿。
⾄此，所有距离型选⼿已经尽量完成了能完成的订单。
然后，将所有重量型骑⼿的订单按照能配送的距离从⼤到⼩排序：。
枚举所有这类骑⼿，给每个骑⼿分配他能完成的距离最⻓的个订单。

29

P5270 无论怎样神树大人都会删库跑路

何意味？

考虑设 \(\mathrm{hash}\) 为 \(\prod (a_i+2)\bmod(10^9+7)\)，这样可以保证一个字符串任意排列后 \(\mathrm{hash}\) 不变，并且 \(\mathrm{hash}\) 能够用前缀积统计。

我们观察题目发现询问是有周期的。具体来说，当 \(X\) 的长度大于等于 \(n\) 时（小于 \(n\) 需要特判），\(X\) 的最后 \(n\) 个字符会以 \(m\) 次拼接为周期进行循环。所以我们知道了一个周期时的答案，就可以知道所有情况的答案了。

实现时，我们在一个周期完成检查当周期开始时 \(X\) 的长度是否大于等于 \(n\)，如果是就直接计算剩余答案。还要注意要用一个栈将 \(X\) 的最后 \(n\) 个字符涉及的小串记录下来。细节较多，具体请看 code，复杂度 \(O(m)\)。

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