数学 重学笔记

数学太差了，重学一遍……

最大公约数

求证：\((a,b)=(b,a\bmod b)\)

证明：设 \(a=bk+c\)，即 \(c=a\bmod b\)。设有 \(d|a,d|b\)，则 \(c=a-bk\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k\)

由右式知 \(\frac{c}{d}\in\mathbf{Z}\)，即 \(d|c\)。所以 \(a,b\) 的公约数也为 \(b,c\) 的公约数，易知 \((a,b)=(b,a\bmod b)\)。

扩展欧几里得

求解 \(ax+by=(a,b)\)。

设 \(x',y'\) 使得 \(bx'+(a\bmod b)y'=(b,a\bmod b)\)。

因为 \((a,b)=(b,a\bmod b)\)，所以 \(ax+by=bx'+(a\bmod b)y'\)，即 \(ax+by=bx'+(a-\lfloor a/b\rfloor b)y'\)。

因此 \(a(x-y')+b(y-x'+\lfloor a/b\rfloor y')=0\)，可得到一组解 \(x=y',y=x'-\lfloor a/b\rfloor y'\)。

线性求逆元

求解 \(i^{-1}\pmod p\)。

设 \(k=\lfloor p/i\rfloor,j=p\bmod i\)，则 \(p=ki+j\)。

因此 \(ki+j\equiv0\pmod p\)，等式两边同乘 \(i^{-1}j^{-1}\)。

得 \(kj^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod p\)，即 \(i^{-1}\equiv-\lfloor p/i\rfloor(p\bmod i)^{-1}\pmod p\)。

欧拉定理

\[a^b\equiv\begin{cases} a^{b\bmod\varphi(m)},&(a,m)=1\\ a^b,&(a,m)\ne1,b<\varphi(m)\\ a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)},&(a,m)\ne1,b\ge\varphi(m) \end{cases}\pmod m \]

莫比乌斯函数

\[\mu(n)=\begin{cases} 1,&n=1\\ 0,&\exists d,d^2|n\\ (-1)^k,&n=\prod_{i=1}^kp_i \end{cases}\]

\[\sum\limits_{i=1}^n\mu(i)=[n=1] \]