范数||x||（norm）笔记

1. 范数的含义和定义

范数是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关领域，是一个函数，它为向量空间内的所有向量赋予非零的正的长度或大小。另一方面，半范数可以为非零的向量赋予零长度。

例如，在二维欧式几何空间\(R^2\)中（简单理解就是二维坐标系）就有欧式范数。在这个向量空间的元素（比如向量\((3,7)\)）常常在笛卡尔坐标系统中被画成一个从原点出发的箭头，而这个向量的欧式范数就是箭头的长度。

拥有（定义）范数的向量空间就是赋范向量空间，拥有（定义）办法书的向量空间就是赋半范向量空间

更加规范的定义：

假设V是域F上的向量空间；V的半范数是一个函数：\(p:V\rightarrow R;x\rightarrow p(x)\)，满足：

• \(p(v)\ge 0\)（具有半正定性）
• \(p(av)=|a|p(v)\)（具有绝对一次齐次性）
• \(p(u+v)\le p(u)+p(v)\)（满足三角不等式，或者称次可加性）

范数是一个半范数加上额外的性质：

• \(p(v)=0\)，当且仅当\(v\)是零向量（正定性）

若拓扑向量空降的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

2.例子

• 所有的范数都是半范数
• 平凡半范数，即\(p(x)=0,\forall x \in V\)
• 绝对值是实数集上的一个范数
• 对向量空间上的线性型\(f\)可以定义一个半范数：\(x\rightarrow |f(x)|\)

绝对值范数

绝对值范数为：

\[||x||=\sum^n_i|x_i| \]

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式

\(L_p\)范数

\(L_p\)范数是向量空间中的一组范数。\(L_p\)范数与幂平均有一定的联系，定义如下：

\[L_p(\vec{x})=||\vec{x}||_p=(\sum^b_{i=1}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\ \ ,\ \vec{x}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\},p\ge 1 \]

图中的q应为p。这是p取不同值是，在\(R^2\)空间上的\(L_p\)范数等高线的其中一条。该图展示了各\(L_p\)范数的形状。

• \(p=0 : ||\vec{x}||_0=x_i不等于0的个数\)。注意，这里的\(L_0\)范数并非通常意义上的范数（不满足三角不等式或次可加性）

• \(p=1 : ||\vec{x}||_1=\sum^{n}_{i=1}|x_i|\)，即\(L_1\)范数是向量各分量绝对值之和，又称曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以度量两个向量之间的差异，汝绝对误差和（Sum of Absolute Difference）

  由于L1范数的天然性质，对L1优化的解是一个稀疏解（查不到准确的定义，不过大概意思就是说这个解向量中很多项都是零），L1范数也就被称作稀疏规则算子

• \(p=2 : ||\vec{x}||_2=\sqrt{\sum^n_{i=1}|x_i|^2}\)，此为欧氏距离

• \(p=+\infty : ||\vec{x}||_{\infty}=\lim\limits_{p\rightarrow\infty}(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}=\underset{i}{max}\ |x_i|\)^[1]，通常表示元素的最大值，即无穷范数或最大范数

欧几里得范数

在n维欧几里得空间\(R^n\)上，向量\(x=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)^T\)的最符合直觉的长度由以下公式给出：

\[||x||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \]

根据勾股定理，它给出了从原点到点x之间的（通常意义下）的距离。欧几里得范数是\(R^n\)上最常用的范数，但正如下面所举出的，\(R^n\)上也可以定义其它的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间\(C^n\)中，最常见的范数是：

\[||z||=\sqrt{|z_1|^2+...+|z_n|^2}=\sqrt{z_1\overline{z}_1+...+z_n\overline{z}_n} \]

以上两者又可以以向量与自身的内积的平凡根表示：

\[||x||=\sqrt{x^*x} \]

其中x是一个列向量\(([x_1,x_2,...,x_n]^T)\)，而\(x^*\)表示其共轭转置

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于电机，因此公式可以写为：

\[||x||=\sqrt{x·x} \]

特别的，\(R^{n+1}\)中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

矩阵范数

矩阵可以看做向量空间上的一次向量的线性变换，矩阵范数就是用来衡量变化幅度大小的

诱导范数

由向量范数的\(L_p\)范数诱导而来：

列和范数

\[||A||_1=\underset{j}{max}\sum^m_{i=1}|a_{ij}| \]

即所有矩阵的列向量绝对值之和的最大值

谱范数

\[||A_2||_2=\sqrt{\lambda_1},\lambda_1为A^TA的最大特征值 \]

即\(A^TA\)矩阵的最大特征值的开平方

行和范数

\[\infty -范数：||A||_{\infty}=\underset{i}{max}\sum^m_{j=1}||a_{ij}|| \]

即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

非诱导范数

Frobenius范数

\[F-范数：||A||_F=\sum^m_{i=1}(\sum^n_{j=1}|a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}} \]

即矩阵元素绝对值的平方和再开平方

核范数

\[||A||_*=\sum^n_{i=1}\lambda_i,\lambda_i为矩阵A的奇异值 \]

指矩阵奇异值的和

参考：

1. 范数-维基百科
2. L_p范数-维基百科
3. 【数学知识】||x||（范数 norm）

一些更深入的相关知识：

1. L1正则化引起稀疏解的多种解释
2. L1正则化的稀疏性解释
3. 为什么L1稀疏，L2平滑？

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1. 看一个例子\(\underset{x_i}{min}\ \underset{y_i}{max}\ |\varepsilon_i|,\varepsilon_i=x_i-y_i\).这个例子里面 |εi|是考察对象，而 xi 和 yi 是两个变量。xi 可以取很多值， yi也可以取很多值。两个下标的意思是：遍历所有的xi和yi取值。先看里面那一层，即 max|εi|.它的意思是，xi取一个固定的值（比如x1），yi遍历所有取值，使得|εi|最大值，这样就找到了(x1, ym1, |εi|1) 这样一个样本。然后，改变xi的值（比如x2），再遍历yi取值，又可以找到|εi|最大值，即 (x2, ym2, |εi|2）的情况。……以此类推，可以理解 min{ }，就是在 xi 取所有情况时，从找到的 |εi|1, |εi|2 .... 中找最小值。 ↩︎