背包问题

经典0-1背包

总的来说就是物品选择与不选的问题

1.不选择  dp[i][j] = dp[i-1][j]

2.选择　  dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i-1][j-v[i] + w[i])

dp[i][j]表示 只选择前i个物品，体积为j的情况下的可选的最大价值

未优化代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int dp[N][N];
int main(){
    int n,m;
    cin>> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>> v[i] >> w[i];
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(j >= v[i])
            dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    for(int i = 0; i <= m; i++){
        res = max(res,dp[n][i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
} 

可以将该代码从二维直接优化到一位空间，

dp[j] 表示背包体积为j时可以选择的最大价值

优化后代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N];

int main(){
    int n,m,v,w;
    cin>> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>> v >> w; 
        for(int j = m; j >= v; j--){
            dp[j] = max(dp[j - v]+w,dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}