欧拉定理

欧拉定理

博客 ： https://www.jianshu.com/p/4fadf3e45764

结论 ： 对于 互质的两个数 a ， n， 有 a ^ φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明：

设集合 R = {x_1, x_2 …… x_φ(n)} 为 小于 n 且与 n 互质的 φ(n) 个数，

设集合 S = {a·x_1 % n, a·x_2 % n…… a·x_φ(n) % n}

gcd (a, n) = 1, && gcd(x_i, n) = 1

=> gcd (a·x_i, n) = 1

=> gcd(a·x_i % n, n) = 1

=> S集合中的所有元素都与 n 互质

假设 S 集合中， 存在 i， j (i != j), 使得 a·x_i % n == a·x_j % n

即 a·x_i ≡ a·x_j (mod n)

由于 gcd (a, n) = 1

=> x_i ≡ x_j(mod n) [或许可以理解为上一个同余方程两边同时乘上一个 a 的逆元 a^(n - 2) ?]

=> 与 R 集合中元素互异相悖

=> 假设不成立， 即 S 集合中的元素互异

又有 S 集合中的元素都 < n

=> R 集合 = S 集合

=> ∏(i : 1-> φ(n)) a·x_i % n = ∏(i : 1-> φ(n)) x_i

=> ∏(i : 1-> φ(n)) a·x_i ≡ ∏(i : 1-> φ(n)) x_i (mod n)

=> a^φ(n) · ∏(i : 1-> φ(n)) x_i ≡ ∏(i : 1-> φ(n)) x_i (mod n)

=> a^φ(n) ≡ 1(mod n)