2020.10.3 清北学堂 J2综合强化营 D3 动态规划笔记

动态规划

\(1\).常见问题

• 做决策
• 求最优解
• 求方案数
• 求可行解
• 搜索不能用，贪心不敢用

判断技巧：

• 看问题的类型
• 看数据范围

\(2\).基本步骤

• 设计状态
• 确定初始状态
• 推导状态转移方程

\((1)\). 设计状态（阶段）

主要思想：问什么，设什么；从数据范围里猜测状态

思路：

• 满状态求出的最优解就是答案——最优解问题
• 状态即为答案，该状态是否能够达到即为该答案是否合法——可行解问题

\((2)\). 确定初始状态

常见\(DP\)初始状态的确定：

• 线性\(DP\)：左端点、右端点、边界外
• 区间\(DP\)：长度为 \(0/1/2\) ……
• 背包\(DP\)：背包大小为 \(0\)
• 树形\(DP\)：叶子节点、根节点
• 状压\(DP\)：\(0\) 状态或题目给定的起始状态

\((3)\). 推导状态转移方程

主要思想：小问题 -> 大问题
分情况讨论：考虑最后一步的决策。
常见\(DP\)归类：

• 线性\(DP\)：左 -> 右；右 -> 左
• 区间\(DP\)：短 -> 长
• 背包\(DP\)：小 -> 大
• 树形\(DP\)：上 -> 下；下 -> 上
• 状压\(DP\)： \(0\) 状态 -> 满状态；起始状态 -> 目标状态
• 其余：记忆化搜索

\(3\).典型题型

\((1)\).线性\(DP\)

\(Problem\ 1\)：最长不下降子序列

状态的表示： \(f[i]\) 表示以 \(i\) 为结尾的最长不下降子序列的长度。
状态转移方程：\(dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);\ (a[j]<a[i])\ (0<=j<i)\)
时间复杂度：\(O(n^2)\)

\(Problem\ 2\): [\(NOIP\)提高组][\(2013\)] 花匠
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\(Problem\ 3\)：[\(NOIP\)普及组][\(2018\)] 摆渡车
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\(Problem\ 4\)：[\(NOIP\)提高组][\(2014\)] 飞扬的小鸟
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\((2)\).区间\(DP\)
主要问题：求某区间的最优解
阶段：总区间
子问题：某段区间

\(Problem\ 1\)：石子归并

状态的表示：\(f[i][j]\) 表示合并自 \(i\) 到 \(j\) 堆的代价

\(Problem\ 2\)：凸多边形三角划分
给定一个具有N（N＜50）个顶点的凸多边形以及每个顶点的权值。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，从而使得这些三角形顶点的权值的乘积之和最小？

状态的表示：\(f[i][j]\) 表示从第 \(i\) 到 \(j\) 个点进行三角划分后的最小乘积和。

状态的转移：\(f[i][j] = min\{f[i][k]+f[k][j]+v[i]*v[j]*v[k]\}\) //v[i]指i的权值

\((3)\).背包\(DP\)（分配类\(DP\)）

基本类型：

• \(01\) 背包（link）
• 完全背包（link）
• 多重背包（待更）

\(Problem\ 1\)：[\(NOIP\)提高组][\(2015\)] 子串
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\(Problem\ 2\)：[\(NOIP\)普及组][\(2005\)] 采药
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\(Problem\ 3\)：[\(NOIP\)提高组][\(2018\)] 货币系统
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\(Problem\ 4\)：[\(NOIP\)普及组][\(2019\)] 纪念品
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\(Problem\ 5\)：机器分配
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