图的匹配

增广路

定义：

• 交错路始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。

• 增广路是始于非匹配点且终于非匹配点（除了起始的点）的交错路。增广路中边的数量是奇数。

增广路上非匹配边比匹配边数量多 \(1\)，如果将增广路上的匹配边和未匹配边反转，则匹配数量会增加 \(1\) 且依然是交错路。

二分图匹配

定义：一张二分图上的匹配称作二分匹配。

设 \(G\) 为二分图，若在 \(G\) 的子图 \(M\) 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 \(M\) 为二分图 \(G\) 的一个匹配，且 \(M\) 的边数为匹配数。

二分图最大匹配

增广路算法

因为增广路长度为奇数，路径起始点非左即右，所以我们先考虑从左边的未匹配点找增广路。

因为交错路的关系，增广路上的第奇数条边都是非匹配边，第偶数条边都是匹配边，于是左到右都是非匹配边，右到左都是匹配边。 于是我们给二分图 定向，问题转换成：有向图中从给定起点找一条简单路径走到某个未匹配点，这个问题就等价于从点 \(x\) 能否走到终点 \(y\)。

那么只要从起始点开始 DFS 遍历直到找到某个未匹配点，\(O(m)\)。未找到增广路时，拓展的路也称为 交错树。

性质：因为要枚举 \(n\) 个点，总复杂度为 \(O(nm)\)。

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int match[N],vis[N],ans;
vector<int> q[N];
int dfs(int x){
	if(vis[x]) return 0;
	vis[x]=1;
	for(int i=0;i<q[x].size();i++){
		int y=q[x][i];
		if(!match[y]||dfs(match[y])){
			match[y]=x;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}
int main(){
	int n,m,t,u,v;
	cin>>n>>m>>t;
	while(t--){
		cin>>u>>v;
		q[u].push_back(v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(vis,0,sizeof vis);
		ans+=dfs(i);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

例题：P3386 【模板】二分图最大匹配

二分图的判定

定义：不存在奇环的图是二分图。

判定方法：对图上遍历顺序相邻的两点着上相间的颜色，如果最后发现点的颜色关系不矛盾，则此图存在奇环，否则此图为二分图。

例题：P1525 [NOIP 2010 提高组] 关押罪犯，P5182 棋盘覆盖，P10937 車的放置，P10936 导弹防御塔，T390017 0x68-二分图匹配-蚂蚁