可持久化数据结构

可持久化线段树

别名：主席树

应用：用于查询指定的闭区间 \([l,r]\) 内的第 \(k\) 小值。

思想：通过新开节点，把被修改的那条链存下来，得到一个新的根，再与之前的主席树建立关系。

实现：动态开点，并保存每个节点的左右儿子编号。记录左右儿子，并保存插入每个数的时候的根节点就可以实现持久化了。

本质：与线段树差不多，只需要找到插入 \(r\) 时的根节点版本，然后用普通线段树就可以做了。还需要联系前缀和，以在区间查询上达到 \(O(1)\) 的复杂度。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10,inf=1e9;
struct Node{
	int l,r,val;
}tr[N<<5];
int root[N],top;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
void build(int &node,int l,int r,int k){
	if(!node) node=++top;
	tr[node].val++;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=mid) build(tr[node].l,l,mid,k);
	else build(tr[node].r,mid+1,r,k);
}
int query(int a,int b,int l,int r,int k){
	if(l==r) return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	int t=tr[tr[b].l].val-tr[tr[a].l].val;
	if(k<=t) return query(tr[a].l,tr[b].l,l,mid,k);
	else return query(tr[a].r,tr[b].r,mid+1,r,k-t);
}
void merge(int &x,int y){
	if(!x||!y){
		x+=y;
		return;
	}
	tr[x].val+=tr[y].val;
	merge(tr[x].l,tr[y].l);
	merge(tr[x].r,tr[y].r);
}
int main(){
    int n,m,l,r,k;
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	k=read();
    	build(root[i],-inf,inf,k);
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) merge(root[i],root[i-1]);
	while(m--){
		l=read(),r=read(),k=read();
		printf("%d\n",query(root[l-1],root[r],-inf,inf,k));
	}
    return 0;
}

例题：P3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组），P3834 【模板】可持久化线段树 2