二分图匹配 匈牙利

二分图及相关概念

• 二分图：又称二部图，是一种特殊的图结构，其顶点集可以被划分为两个互不相交的子集和，并且图中所有的边都连接着中的顶点和中的顶点，和内部没有边。
• 匹配：在二分图中，匹配是指一组边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
• 最大匹配：是指在所有可能的匹配中，边数最多的匹配。

实现步骤

1. 初始化：将所有顶点标记为未访问，所有边都初始化为未匹配状态。
2. 遍历顶点：从二分图的一侧顶点集合中选取一个未匹配的顶点开始遍历。
3. 寻找增广路径：从出发，尝试找到一条增广路径。对于的每个邻接顶点，如果未匹配，那么就找到了一条增广路径；如果已经匹配，但是其匹配的顶点可以通过其他路径找到一个新的匹配顶点，那么也找到了一条增广路径，这可以通过递归地调用寻找增广路径的函数来实现。
4. 更新匹配：一旦找到增广路径，就沿着该路径更新匹配，即将路径上的匹配边变为未匹配边，未匹配边变为匹配边。
   重复步骤 2-4，直到找不到新的增广路径为止，此时得到的匹配就是二分图的最大匹配。

板子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
vector<int> G[N]; // 邻接表存储二分图
int match[N];     // 记录匹配的顶点
bool vis[N];      // 标记是否访问过
// 寻找增广路径
bool dfs(int u)
{
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
    {
        int v = G[u][i];
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = true;
            // 如果v未匹配或者v的匹配点可以找到新的匹配
            if (match[v] == -1 || dfs(match[v]))
            {
                match[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

// 匈牙利算法求最大匹配
int search(int n)
{
    int ans = 0;
    memset(match, -1, sizeof(match));   //初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if (dfs(i))
            ans++;
    }
    return ans;
}

int main()
{

    return 0;
}