点分治

基本概念

• 分治思想：点分治的核心思想是分治，它通过选择合适的根节点将树划分为若干子树，递归地处理每个子树，最后合并子树的结果得到整棵树的解。
• 重心：在点分治中，通常会选择树的重心作为根节点。树的重心是指树中的一个节点，当把这个节点作为根时，其所有子树中最大子树的节点数最少。选择重心作为根可以保证每次划分后子树的规模尽可能均衡，从而保证算法的时间复杂度。

实现步骤

• 找到树的重心：通过深度优先搜索（DFS）遍历树，计算每个节点的子树大小，从而找到树的重心。
• 以重心为根进行处理：以重心为根，统计经过重心的所有路径的信息（如路径长度、路径上的节点权值和等），并根据问题的要求进行相应的统计和计算。
• 递归处理子树：将树按照重心划分成若干子树，对每个子树递归地执行步骤 1 和步骤 2，直到子树为空。
• 合并结果：将所有子树的结果合并起来，得到整棵树的最终结果。

复杂度分析

• 时间复杂度：由于每次选择重心作为根节点可以保证每次划分后子树的规模至少减少一半，因此点分治的时间复杂度通常为，其中是树中节点的数量。
• 空间复杂度：主要取决于递归调用栈的深度和存储树结构所需的空间，空间复杂度为。

应用场景

• 统计树上满足特定条件的路径数量：例如，统计树上路径长度等于给定值的路径数量，或者统计树上路径权值和在某个范围内的路径数量。
• 计算树上路径的最值：例如，计算树上所有路径中最长路径的长度，或者计算树上路径权值和的最大值。