CINTA作业七

4、证明命题\(11.4\)

命题\(11.4\) 勒让德符号的若干属性
设 \(p\)是奇素数，\(a, b\in Z\) 且不被 \(p\) 整除。则有：
1、如果\(a\equiv b\pmod p\)，则\((\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})\)
2、\((\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})\)
3、\((\frac{a^2}{p})=1\)
证明：
1、\(a\equiv b\pmod p\),此时\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)当且仅当\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)当且仅当\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)
当\(a\)，\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时，此时

\[(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1 \]

当\(a\)，\(b\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时，此时

\[(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1 \]

所以如果\(a\equiv b\pmod p\)，则\((\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})\)
2、当\(a\)，\(b\)是均模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时，由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QR}\)可得：\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，此时有：

\[(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1，(\frac{ab}{p})=1,满足(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) \]

当\(a\)，\(b\)中有一个为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，另一个为模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)，命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QNR}=\mathbf{QNR}\)可得：\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)，此时有：

\[(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=-1,(\frac{ab}{p})=-1，满足(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) \]

当\(a\)，\(b\)是均模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时，由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QNR}\times\mathbf{QNR}=\mathbf{QR}\)可得：\(ab\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，此时有：

\[(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1，(\frac{ab}{p})=1,满足(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) \]

所以：\((\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})\)
3、当\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)时，由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QR}\)可得：\(a^2\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，此时有：

\[(\frac{a^2}{p})=1， \]

当\(a\)是模\(p\)的\(\mathbf{QNR}\)时，由命题\(11.3\)中\(\mathbf{QNR}\times\mathbf{QR}=\mathbf{QNR}\)可得：\(a^2\)为模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，此时有：

\[(\frac{a^2}{p})=1， \]

所以：\((\frac{a^2}{p})=1，\)

5、给出推论\(11.1\)的完整证明。

推论\(11.1\)：设\(p\)是一个奇素数，则：

\[(\frac{-1}{p})=\begin{cases} 1\qquad如果p\equiv1\pmod 4 \\ -1\qquad如果p\equiv-1\pmod 4 \end{cases}\]

证明：由欧拉准则可得：\((\frac{-1}{p})=(-1)^{(p-1)/2}\)
当\(p\equiv1\pmod 4\)，设\(p=4k+1\)，\(k\)为整数，则有

\[(-1)^{(p-1)/2}=(-1)^{(4k+1-1)/2}=(-1)^{2k}=1 \]

当\(p\equiv-1\pmod 4\)，设\(p=4k-1\)，\(k\)为整数，则有

\[(-1)^{(p-1)/2}=(-1)^{(4k-1-1)/2}=(-1)^{2k-1}=-1 \]

推论\(11.1\)得证。

6、设\(p\) 是奇素数，请证明\(Z^*_p\)的所有生成元都是模\(p\)的二次非剩余。

证明：设\(g\)为\(Z^*_p\)的生成元，假设\(g\)模\(p\)的\(\mathbf{QR}\)，则有

\[(\frac{g}{p})=1 \]

又由欧拉准则可得：

\[(\frac{g}{p})\equiv g^{(p-1)/2} \]

即：

\[g^{(p-1)/2}\equiv1\pmod p \]

与这与\(g\)的阶为\(p-1\)矛盾，所以\(g\)为模\(p\)的二次非剩，即\(Z^*_p\)的所有生成元都是模\(p\)的二次非剩余。