最长公共子序列问题

问题描述：

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

 

例如：X（A，B，C，B，D，A，B）

        Y(B，D，C，A，B，A)

 

那么最长公共子序列就是：B，C，B，A

算法设计：用动态规划方法解决

最长公共子序列的结构：

设X = { x1 , ... , xm },Y = { y1 , ... , yn }及它们的最长子序列Z = { z1 , ... , zk }则：

1、若 xm = yn ， 则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列

2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列

3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

子问题的递归结构：

当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0

当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

 

还是以：X（A，B，C，B，D，A，B）

          Y(B，D，C，A，B，A)  为例

看下面的图：

由上面的分析：我们得到的源代码：

 

//最长公共子序列代码模板
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 105

int dp[N+1][N+1];
char str1[N],str2[N];

//比较两个数的大小
int maxx(int a,int b){
     if(a>b){
           return a;
      }
      return b;
}

 
//函数功能：获取两个字符串的最长公共子序列的数目

//len1:字符串1的长度

//len2:字符串2的长度

int LCSL(int len1,int len2){
      int i,j;
      int len=maxx(len1,len2);
      for(i=0;i<=len;i++){
           dp[i][0]=0;//y为空字符串
          dp[0][i]=0;//x为空字符串
     }


      for(i=1;i<=len1;i++){
           for(j=1;j<=len2;j++){
                 if(str1[i-1]==str2[j-1]){
                      dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                 else{
                      dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ; 
                 }
          }
      }
      return dp[len1][len2];
}

int main(){
      while(cin>>str1>>str2){
           int len1=strlen(str1);//获取字符串1的长度
        int len2=strlen(str2);//获取字符串2的长度
        cout<<LCSL(len1,len2)<<endl;
      }
      return 0;
}