浅谈均值不等式

${\color{red}{~有~任~何~问~题~欢~迎~讨~论~评~论~}}$

均值不等式的地位之重要，在高考中一些处理最值问题上，因其简单的优越性而地位可在某些条件下取缔函数  

虽然函数可以判断任意的多项式的任意区间的最大最小值，而均值不等式在能在正数和存在定值（下面详述），但是高考中总是有它的特殊性，就会悄默声地满足了均值不等式的条件，所以均值不等式在求值方面的用途超越了函数。  

下面分别讲解均值不等式：

1、课标要求

据新课标（《普通高中数学课程标准（$2017$年版）》），均值不等式属于必修部分（$2018$年人教版新教材必修$Ⅰ$，$2003$年人教版$B$版老教材必修$Ⅴ$第三单元第二节）。其内容要求：掌握基本不等式（即均值不等式）$~~\sqrt{~a~b~}~\le~\frac{~a~+~b~}{~2~}~,~(a~,~b~\ge~0)~~$ 。结合具体实例，能用基本不等式（即均值不等式）解决简单问题的最大值获最小值问题。

2、均值不等式的来源

由完全平方公式$$~(~a~-~b~)^2~=~a^2~-2~a~b~+~b^2~~~,~~~(a~,b~\in~R~)~~~~~①~$$ 平方的性质 $$~x^2~\ge~0~~~~，~~~(~x~\in~R~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~②$$

由$①②$整理可得$$a^2~-2~a~b~+~b^2~\ge~0~~~,~~~(a~,b~\in~R~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~③$$  

移项得$$a^2~+~b^2~\ge~2~a~b~~~,~~~(a~,b~\in~R~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~④$$

为方便起见我们令$$x~=~a^2~\ge~0~,~y~=~b^2~\ge~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~⑤$$

将$④$代入$⑤$得$$x~+~y~\ge~2~\sqrt{~x~y~}~~~,~~~(x~\ge~0~,~y~\ge~0)~~~~~~~~~~~~~~⑥$$

则$⑥$即为均值不等式

小结：

均值不等式：$$a~+~b~\ge~2~\sqrt{~a~b~},当且仅当~a~=~b~时等号成立$$

名称来源：

均值不等式为什么叫均值不等式？

因为$\frac{~a~+~b~}{~2~}$为算数平均值，$\sqrt{~a~b~}$为几何平均值。所以命名为均值不等式，因为$~a~,~b~\notin~R$即，$~a~,~b~$有限制条件，所以是基本不等式

3、常见形式

$①~\frac{~a~+~b~}{~2~}~\ge~\sqrt{~a~b~}~~~~~~~,~~(~a~,~b~\in~R^+)$

$②~a~+~b~\ge~2~\sqrt{~a~b~}~~,~~(~a~,~b~\in~R^+)$

$③~a^2~+~b^2~\ge~2~a~b~~~~,~~(~a~,~b~\in~R)$

$④~a^2~+~b^2~\ge~\frac{(a+b)^2}{2}~~,~~(~a~,~b~\in~R)$

综上所述$\sqrt{\frac{~a^2~+~b^2~}{~2~}}~\ge~\frac{~a~+~b~}{~2~}~\ge~\sqrt{~a~b~}~\ge~\frac{2}{~\frac{1}{~a~}~+~\frac{1}{~b~}}$

以上四个形式所代表的含义分别为：$\color{yellow}{平方平均值~~代数平均值~~几何平均值~~调和平均值}$

4、应用

说白了，不等式的应用就是求最大最小值啊

$①$求值的格式：

$1、$最经典的一种就是$a~+~b~\ge~2~\sqrt{~a~b~}$，在两者同正且和（或积）为定值时，可以求得积的最大值（或和的最小值）

例如：$$已知~a~,~b~\in~R~,~且~a~-~3~b~+~6~=~0~,~则~2^a~+~\frac{~1~}{~8^b~}~的最小值$$

讨论：初学者遇到这道题或许会有些迷茫，找正数也没有，找定值也没有，怎么会是均值不等式的裸题呢？

分析：没有正数，可以寻找正数，虽然$~a~,~b~\in~R~$,但是我们知道对于指数函数$~y~=~a^x~$来说，$~y~\gt~0~$，（不懂得小伙砸（小姑娘）可以去学习一下基本初等函数——指数函数），那么我就可以得到$~2^a~\gt~0~$和$~\frac{~1~}{~8^b~}~\gt~0~$，就满足了条件要求的正数，然后我们看到题目条件中存在等式，可以将等式变形，就得到了$~a~-~3~b~=~-6~$，那么定值也有了，下面不就是构建均值不等式的关系了吗？那么问题来了——看不出来啊！这个时候，你要自信，把得到的两个条件合并一下，就得到了$~2^a~+~2^{~-~3~b~}~=~2^{~a~-~3~b~}~=~2^{~-~6~}$，那么这个式子有何题目有什么关系呢？有指数运算性质可以得到$~2^{~-~3~b}$ $=~\frac{~1~}{2^{~3~b~}}$ $=~\frac{~1~}{~(~2^3~)^{b}~}~=$ $\frac{~1~}{~8^b~}~= $原式。

所以原式解得：$$~2^a~+~\frac{~1~}{~8^b~}~\ge~2 ~*~\sqrt{2^{~a~-~3~b~}~ }~=~2~*~\sqrt{2^{~-~6~}}=2~*~2^{~-~3~}=\frac{~1~}{~4~}$$

所以答案为$\frac{~1~}{~4~}$。