Educational Codeforces Round 182 部分题解

edu 182 题解

D.Price Tags

考虑枚举 \(x\)，则最大的最终价格不超过 \(\lceil\frac{M}{x}\rceil\) ，\(M\) 是序列最大值。

我们再依次枚举每个价格出现多少次，最终能改到当前价值的原价值是一段区间内的数，是方便统计的。

根据调和求和，复杂度为 \(O(TM\log M)\) ，比较卡。

E.Looking at Towers

可以发现左看右看最终的数一定是序列最大值，我们可以利用最大值将左右完全分开。这里不妨一个方案下，以取到最大值的位置的最右端 \(x\) 为分割点，\(1,2,\cdots,x\) 分配给左看（就是最大值全分配给左看序列），\(x+1,\cdots,m\) 分配给右看（也就是右看序列不分配到最大值）。

考虑 E1 的做法，以左看为例子，dp 为 \(f_{i,j}\) 表示当前前 \(i\) 个数已经配对了左看序列的前 \(j\) 个数，第 \(i\) 个数一定选了的方案数，再设 \(g_{i,j}\) 为关于 \(i\) 的前缀和，即第 \(i\) 个数不强制选的方案数，转移为（设 \(s_m\) 为左看的序列）：

\[\begin{align*} f_{i,j}&\leftarrow g_{i-1,j} &\quad a_i\leq s_j\\ f_{i,j}&\leftarrow g_{i-1,j-1}&\quad a_i=s_j\\ g_{i,j}&\leftarrow f_{i,j} \end{align*}\]

转移后，对于每个最大值的位置 \(x\) 都有 \(f_{x,m}\times g_{x,m-1}\) 的贡献。

考虑用线段树维护 \(g_{j}\) ，每次转移时，对于 \(a_i\leq s_j\) 将 \(f_{i,j}\) 换掉，等价于对于一个后缀，\(g_{j}\) 后缀乘 \(2\)，对于 \(a_i=s_j\) ，是一个单点加。

最后求左看是求 \(f\) ，差分一下就可以了。

于是上述转移可以用线段树优化，复杂度 \(O(n\log n)\) 。

F.Bracket Groups

结论是，答案不超过 \(2\) 。

若存在串 \(()\) ，则一定不可行，否则一定可行。

现在不存在串 \(()\) ，先考虑 \(2\) 组的情况，我们构造 \(()()()\cdots\) 和 \((((((\cdots)))))\) 这两种串，若一个字符串存在 相邻 两个位置一样，则放入第一个组，否则放入第二个组。可以发现这样分配一定是不会冲突。

现在考虑 \(1\) 组是否可行，子串配对想到 acam ，对所有串构建 acam，一个构造字符串可行当且仅当其沿着 acam 走，不会落到任意一个结束位置在 fail 树的子树内，而至于后者哪些点不能落到，可以在构造时直接求出来。

那么可以 dp，设 \(f_{i,j,x}\) 表示当前填了 \(i\) 个括号，括号前缀和为 \(j(j \geq 0)\) ，当前在结点 \(x\) 处是否可行，最后再构造方案就可以了。

这里因为可行的终点比较多，我们也可以倒着加括号，最后终点只有 \(f_{0,0,0}\) 这个位置，构造起来也更方便。

复杂度 \(O(n^4)\) 。

代码