2025 nowcoder round1

2025 牛客多校 round1 补题

C - Clamped Sequence 2

给定序列 \(a\) 和价值 \(w\) ，对于一个 \(d\) 选定一个 \(l,r,0\leq r-l \leq d\) 使得 \(\sum_{i=1}^{n-1} w_i |a_i-a_{i+1}|\) 最大，\(d\) 多组询问，\(n\leq 1000,Q \leq 10^6\) ，\(w_i\) 可能时负数。

若选定的 \(l,r\) 没有一个在 \(a_i\) 的边界上，则上下平移区间贡献是相反数，总有一个是非负的，因此 \(l,r\) 其中一个一定是某个 \(a_i\) 。

考虑设 \(l=a_i\) ，我们记 \(a\) 排序去重后的序列为 \(s\) ，在 \(r\) 逐渐增大的过程中，整个序列的价值按照 \(s\) 分割成若干个段一次函数，可以求出每一段的一次函数 \((u,v,k,b)\) 意为 \(y=kx+b\) ，在 \(u\leq r-l \leq v\) 时取到，每一个 \(a_i\) 能产生 \(O(n)\) 个一次函数，总共有 \(O(n^2)\) 个一次函数。

\(w_i\) 可能是负数，那么一次函数的 \(k\) 可能是负数，此时需要取前缀最大，此时可以令 \(k=0\) 且 \(v=+\infty\) 。

得出这几个函数，我们发现能取到最优的 \(d\) 的可行值只可能为所有 \(a_i-a_j\) 和所有询问的值，因此可以离散化后将线段加到李超树里查询（也可以动态开点，但我不确定能否跑得过）。当然也可以将线段加到线段树中每个区间求半平面交，询问按 \(d\) 排序离线查询也可以，前者是两个 \(\log\) 后者只有一个。