2025 nowcoder round5

2025 牛客多校 round5 补题

随机补题（

C - Array Deletion Game

\(n\) 个数，先后手轮流选，每次删除首位或者末尾的数，删除后剩余数的和小于等于 \(s\) 则输，询问多个 \(s\) ，对每个 \(s\) 求先手的胜负态。

定义区间合法为区间和大于 \(s\) 。

若 \([l,r]\) 为必败，则有 \([l,r+1],[l-1,r]\) 为必胜，\([l-1,r+1]\) 为必败；同理若 \([l,r]\) 为必胜，则其一定可以转移到一个必败态，从这个必败态出发能推出 \([l-1,r+1]\) 为必胜。

因此所有合法（即区间和大于 \(s\)）的状态下，\(l+r\) 相同的状态胜负相同。

那么求 \([1,n]\) 的胜负态，可以先转移到求 \([1+d,n-d]\) 的胜负态，此时 \([1+d,n-d]\) 合法，且 \([1+d+1,n-d-1]\) 非法。

画出博弈图，一个非法状态的所有子状态都是非法状态，这里可以认为非法状态是必胜态，因为其一定由对方从一个状态转移过来，对方输。

那么 \([1+d,n-d]\) 的剩余转移只可能是两条侧链，此时只需要判断出走某一条侧链走多少次会碰到非法态（玩家不会主动到非法态，这样就输了），两条侧链有一条先手赢那先手就能赢。

以上找 \(d\) ，判侧链的部分都可以二分，复杂度 \(O(Q\log n)\) 。

上图是 \([l+d,r-d]\) 的博弈图，红色区域都是非法区域，判断侧链即可。