atcoder ABC410 部分题解

E - Battles in a Row

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朴素的想法是设 \(f_{i,j,k}\) 表示剩余 \(j,k\) 的局面能否达到。

容易优化成 \(f_{i,j}\) 表示剩余 \(j\) 体力时最多剩余多少法力，因为低于这个值得操作都是劣的。

F - Balanced Rectangles

神币

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题目提到 \(h\times w \leq 3\times 10^5\) ，意味 \(\min(h,w)\leq \sqrt{3\times 10^5} \approx 600\) ，不妨令 \(\min(h,w)=h\)，我们可以实现一个 \(O(h^2w)\) 的做法（对于 \(h>w\) 的情况，颠倒一下就可以了）。

锁定两行后，只考虑列就是个一维问题了，维护出列的前缀和用哈希表维护一下就可以了。

注意直接用 map 之类的多一个对数，要使用线性做法。可以使用固定偏移处理负数直接在数组上维护，也可以哈希表，有个很奇怪的点：用普通的 unordered_map 和只使用 xor 位移的 unordered_map 可以过，加一个时间偏移就过不了？

G - Longest Chord Chain

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从题目来看，可以转化出选择尽可能多的不相交的弦即为答案，这个不相交有特殊的意义：需要使得存在一种顺序使得选择的弦左端点单调，右端点也单调（可以看最后一个样例）。

考虑断环为链，一个弦 \((x,y),x<y\) 可以划分成三个独立的区间 \((x,y),(y,x+2n),(x+2n,y+2n)\) ，三个区间彼此独立互不干扰，转化成线性问题，这里转化成求尽可能多的区间，使得一个区间总是完全包含下一个区间。

由于给定的弦 \(x,y\) 两两不同，因此在线性下一个位置只可能有一个数，我们令 \(a_x\) 设为以 \(x\) 为左端点的区间，其右端点是哪。

根据左端点单调，右端点也单调的原则，这个线性问题已经保证了左端点单调上升，现在只需要保证右端点单调下降，且要选最多的区间，那可以自然想到求最长下降子序列了（\(a\) 的下标表示左端点单调上升，只需要保证 \(a_x\) 的值单调下降就可以）。

于是将 \(a_x=y,a_y=x+2n,a_{x+2n}=y+2n\) ，转化成求最长下降子序列就可以了，注意要去除那些没有数的位置。