atcoder ARC192 div2 部分题解

ARC 192(div2) Solution

还是不会做 atcoder 的短小思维题。

A - Union of Grid Paths

题意

对于一个 \(H\times W\) 的网格，给定一个长度位 \(H+W-2\) 的字符串 \(s \in \{R,D,?\}\) 。你需要将 \(?\) 替换成 \(R,D\) ，并确保字符串恰好包含 \(W-1\) 个 \(R\) 和 \(H-1\) 个 \(D\) ，此时字符串构成从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\) 的路径，把路径上所有点涂黑，问所有的替换方案中，总共涂黑的点有多少个。

题解

可以发现最终所有涂黑的点中，每一行的黑色块构成区间。

优先将 \(?\) 替换成 \(R\) 跑一遍得到每个区间的右端点，再优先把 \(?\) 替换成 \(D\) 跑一遍得到每个区间的左端点，就能算了。

代码

B - Greater Than Average

题意

一个数列的价值是：

\[\sum [a_i>\frac{\sum a_i}{n}] \]

也就是严格大于平均值的数的个数，求一个数列的任意子序列的最大价值。

题解

序列价值和元素顺序无关，可以将 \(a_i\) 排序。

对于一个序列 \(a_i\) ，加入 \(x\leq \min(a_i)\) ，价值是不降的，同时对于 \(x<y<z\) ，选择 \(x,y\) 的价值不小于选择 \(x,z\) 的价值。

综上所述，最优的子序列是排序后的 \(a_i\) 的一个前缀，枚举求就行，具体的，能记录答案的 \(a_i\) 是选择的该前缀的一个后缀，二分出这个位置。

代码

C - Removal of Multiples

题意

考虑初始 \(S=N^+\) ，多个操作，每次给定 \(a,b\) ，将 \(S\) 中所有 \(a\) 的倍数删去，并询问第 \(b\) 大。

\(a \geq 2, b \leq 10^5\)

题解

主体思路在于查询时二分答案，查询 \([1,mid]\) 有几个数没被删除。

发现质数是难以删去的，只有当 \(a\) 为质数时才删去，由于 \(b \leq 10^5\) 那么可以看出上限是第 \(10^5\) 大的质数，筛出来发现只有 \(3\times 10^6\) 差不多大小，因此过大的 \(a\) 就没有用处了。

基于以上，考虑直接用线段树暴力修改，单次删除一个数的复杂度是 \(O(\log M)\) ，把重复的操作删除后，每个数最多删除一次，且遍历次数是调和求和，复杂度大致是 \(O(Q\log^2M)\) 的。

查询直接在线段树上二分就行了。

每次遍历时可能会删除重复的数，注意要严格确保每个数只被删除一次。

代码