笔记：LCT的扩展应用

LCT 的一些扩展应用

发明 LCT 的人真是个天才！

基础的 LCT 用于维护生成森林，但其实可以扩展出更多的应用（会慢慢更新）。

基环树

LCT 是无法维护环结构的，但由于基环树只有一个环的特点，由以下方法维护有向基环树（以内向树为例）：

1. 若当前树没有环，则直接维护，将根设置为任意节点。
2. 若有环，则在环上任选一个节点作为根，不在 LCT 中插入根节点指向的边（也就是当成树维护），同时维护一个辅助边表示该虚边。

注意此时的 LCT 是定根的，不能随意的变换根节点。

现在假定所有的边修改操作为更改一个点的出边，分为删边和加边两部分。

对于删边，判断该点是否在环内，找到当前树的根和虚边，做 access 将环打通，此时判断该点的辅助树的根是否是根节点即可（这里找的是 Splay 的根，不是原树的根）。

若在环内，删除该边，并将维护的虚边插入 LCT ，并以当前点位根，否则直接删除。当该点本身就是根节点时，直接删除虚边。

对于加边，此时该点一定是根节点，判断加边是否在原树中，若是则构成环，维护虚边即可。若不是，做正常的加边操作即可。

时刻注意虚边永远跟着根节点，改变虚边时要相应改变根节点。

例题：电子木鱼

题目不描述了，直接说做法：

把集合状压，那么加功德就是全局对 \(d\) 异或，由于是全局操作，可以维护当前异或的值是什么设为 \(T\) ，当一个 \(S_i=T\) 时，就会产生一次操作改变 \(T\) ，对于相同的 \(S_i\) ,只会操作编号最小的，因此每个状态 \(T\) 对应了唯一的出边。

转成图论问题后，加一个佛祖即选择一个没有出边的点选一个二进制差 \(1\) 位的点连接一条出边，原文题变成在若干次操作后，从 \(0\) 出发能走到环上。

• 若 \(0\) 本身能走到环，答案为 \(0\) 。
• 若 \(0\) 所在连通块大小大于 \(1\) ，则答案为 \(1\) 。
• 否则，考虑所有状态只有 \(1\) 位的点，若存在某点能走到环，答案位 \(1\) 。
• 以上情况都不满足，答案为 \(2\) 。

我们从大到小枚举 \(l\) ，求出最小的 \(r_1\) 满足加入 \([l,r_1]\) 边后，\(0\) 能走到环上。

再找出最小的 \(r_2\) ，满足加入 \([l,r_2]\) 边后，要不状态 \(1\) 位的某点能走到环，要不有边和 \(0\) 连通了，此时对于 \(r\in[l,r_2-1]\) 答案为 \(2\)，对于 \(r \in [r_2,r_1-1]\) 答案为 \(1\)，其余为 \(0\) 。

我们加入所有 \([l,n]\) 的边，考虑求出一个点到环上所有点的路径中边的编号最大的编号，发现这就是我们需要的 \(r\) ，对于 \(r_2\) 直接求，对于 \(r_1\) 就是对不同的点的路径最大值取最小，对于本身没有环的点来说，其值可以简单设为 \(n+1\)。

我们发现只需要维护动态加边删边，路径最大值即可，扩展成基环树即可。

还要保证没有边和 \(0\) 连通，用 set 维护即可，注意有删边操作，不能直接用 las 记录，要记录所有的边。

注意找环上最值的时候，要把整个环拿出来判一遍，时刻注意虚边是没有加入 LCT 的，我们维护的任然是一棵树，具体方法把虚边的出点 access 上来即可。

代码

洛谷好像不能直接看代码，那就自己动手写写吧。

双倍经验，直接考虑不取模加强版，维护环长总和，连通块数量，比上一题好维护。