笔记：线段树的多标记问题

浅谈线段树的多标记问题

本文从线性代数的角度讨论线段树的若干多标记下传问题。

标记下传的本质是仿射变换，用矩阵乘法就能把多个标记转化为一个矩阵的标记。

区间加乘

做模板题时，你可能会想为什么乘法标记要把加法标记也乘积。

我们需要维护 区间和 和 子树大小：

\[\begin{bmatrix} sum\\ siz \end{bmatrix}\]

对于加法操作：

\[\begin{bmatrix} 1&add\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} sum\\ siz \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} sum+siz\times add\\ siz \end{bmatrix}\]

对于乘法：

\[\begin{bmatrix} mul&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} sum\\ siz \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} sum\times mul\\ siz \end{bmatrix}\]

先加法再乘法：

\[\begin{bmatrix} mul&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&add\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} mul&mul\times add\\ 0&1 \end{bmatrix}\]

先乘法后加法：

\[\begin{bmatrix} 1&add\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} mul&0\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} mul&add\\ 0&1 \end{bmatrix}\]

可以发现此时只需要维护矩阵第一行两个标记即可，乘法操作时要把加法操作也乘积，下传时先乘法后加法。

区间加法，覆盖

正确的逻辑为：区间覆盖时清空加法标记。

加法的矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 1&add\\ 0&1 \end{bmatrix}\]

覆盖的矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 0&cov\\ 0&1 \end{bmatrix}\]

先加法后覆盖：

\[\begin{bmatrix} 0&cov\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&add\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&cov\\ 0&1 \end{bmatrix}\]

发现加法标记被清空了。

后面会补充更多的操作QAQ