笔记：线性同余方程和剩余定理

线性同余方程和剩余定理笔记

动机

碰到这类题每次求通解都要查公式，有时候抄错一个地方也看不出来（乐），那就手动推一下加强印象。

注：本文不讲解扩展欧几里得。

线性同余方程

形如：

\[ax\equiv b \bmod n \]

的方程就是线性同余方程，我们要解出 \(x\) 的特解和通解。

转化

容易转化成：

\[ax+yn = b \]

其中：

\[ax+yn=\gcd(a,b) \]

是标准的扩展欧几里得求解，计解出的特解为 \(x_0,y_0\) ， \(\gcd(a,n)=d\) ，那么通解可以表示为：\(x_0+\frac{n}{d}t\) 和 \(y_0-\frac{a}{d}t\) ，可以发现最后加和的那一项被消除了。

那为什么加减项不使用别的数而就要用这个呢（比如直接用 \(n,a\) ）？实时上该通解构成了该方程的所有整数解，这个倍数构成最小周期（这并不是周期的概念，只是加强理解）。

求解 \(x\) 或 \(y\) 的最小正整数解，只需要把特解定在加减项的剩余系中就可以了。

原问题求解

原问题同余项是 \(b\) 不是 \(\gcd(a,n)\) ，我们对原始子同时乘一个常数 \(k\) 就能得到 \(ax+yn=k\cdot \gcd(a,n)\) 的一组解，那么根据裴蜀定理，若 \(b \nmid \gcd(a,n)\) ，该方程无整数解。

否则 \(k=\frac{b}{\gcd(a,n)}\) 即可，此时的通解形式为：（设 \(x_0,y_0\) 是对 \(\gcd(a,b)\) 的特解）

\[x=kx_0+\frac{n}{d}t,y=ky_0-\frac{a}{d}t \]

注意后一项不用对 \(k\) 乘积。

剩余定理

这里直接求解扩展剩余定理：

\[\left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \bmod n_1\\ x &\equiv a_2 \bmod n_2\\ &\cdots\\ x &\equiv a_m \bmod n_m \end{aligned} \right. \]

这里 \(n_1,n_2,\cdots,n_m\) 不一定互质。

解法

考虑将两个方程合并成一个。

转化成：\(x=n_1p+a_1=n_2q+a_2\) ，就有 \(n_1p-n_2q=a_2-a_1\) ，可以用扩展欧几里得解出其特解 \((p,q)\) 及 \(x_0\) ，此时 \(\operatorname{lcm(n_1,n_2)}\) 构成最小正周期，通解为：

\[x_0+t\operatorname{lcm(n_1,n_2)} \]

这里取 \(x\) 的任意一个等式作为合并方程：

\[x\equiv (n_1p+a_1) \bmod \operatorname{lcm(n_1,n_2)} \]

最终合并成一个方程即可。

扩展

合并方程组的本质是对每个式子求了 \(x\) 的通解 ，只是在 \(x\) 前系数为 \(1\) 的情况下，该通解表示比较简便，对于 \(a_ix\equiv b_i \bmod n_i\) 的一般式，就需要用扩展欧几里得解出 \(x\) 的通解 \(x=kx_0+b\) ，那两个方程的合并结果为 \(x=k_1x_1+b_1=k_2x_2+b_2\) ，其中解关于 \((k1,k2)\) 的方程，做方程合并。

当然上式也能写作：\(x \equiv -b \bmod x_0\) 转成标准形式。

一些应用

题目不一一列举了，这类问题的题目很多，会在题解中一点点更新！

剩余定理可以处理模数非质数的情况，对于一个非质数模数 \(n\) ，将 \(n\) 质因数分解 \(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\) ，此时求出质数 \(p_1,p_2,\cdots p_m\) 的所有特解，通过剩余定理拼出最终的解。