atcoder ABC395 部分题解

E - Flip Edge

题意

给定有向图，边权均为 \(1\)，可以随时翻转所有图的边的方向，每次花费 \(x\)，求 \(1\) 到 \(n\) 的最短花费。

题解

之前看成单边翻转了。。

每个点拆成两个点，为原图和反转图，边 \((u,v)\) 即为原图的有向边 \((u,v)\) 和反转图的有向边 \((v,u)\)。

最后每个点到自己反转图的点连一个长度为 \(x\) 的双向边即可。

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F - Smooth Occlusion

题意

给定 \(a_n,b_n\)，每次操作选择一个 \(a_i\) 或者 \(b_i\) ，令其减 \(1\)，最终保证 \(|a_i-a_{i+1}| \leq X\) 且 \(a_i+b_i\) 都相同，最小操作次数是多少。

题解

不考虑 \(X\) 的限制，我们确定一个最终的 \(H\) 为所有的 \(a_i+b_i\)，这个 \(H\) 就是最小的 \(a_i+b_i\)。

当 \(H\) 减小时，我们的操作数会变大，但对 \(X\) 的限制就越宽松，我们可以二分这个 \(H\)，检查时确定 \(i-1\) 的 \(a_i\) 能变成的区间 \([l_{i-1},r_{i-1}]\) ，那新的区间就是 \([l_{i-1}-x,r_{i-1}+x]\) 和 \([l_i,r_i]=[a_i-w,a_i]\) 的交区间，其中 \(w\) 是当前 \(H\) 下 \(a_i\) 最多能操作多少次。

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G - Minimum Steiner Tree 2

题意

给定无向完全图，每次询问两点 \(u,v > K\) ，求保证使点 \(1,2 \cdots K, u,v\) 连通的最小子图边权和。

\(n \leq 80, Q \leq 5000, k \leq 8\) 。

题解

是最小斯坦纳树的小扩展，不了解的可以先学习一下。

如果每次询问都从头求斯坦纳树，复杂度为 \(O(Q 3^k)\) ，做不了。

\(n\) 很小，每个询问给定了两个额外点，我们尝试先求过一个额外点的斯坦纳树，再加入另一个点。

具体的，设 \(f_{u,rt,s}\) 为以 \(rt\) 为根下，包含 \(s \cup \{u\}\) 的点集的最小斯坦纳树，求出的这棵树保证 \(s,rt,u\) 这些点连通，我们直接连通 \(rt\) 到 \(v\) 的最短路就连接了 \(v\) 点，显然不同的 \(rt\) 代价不同，选择最小的 \(rt\) 即可。

\(u,v\) 是对称的，只枚举一个先选就行，复杂度 \(O(n3^n \log n+Qn)\)，提前求出全源最短路，转移更方便。

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