Codeforces Round 1006 (Div. 3) 部分题解

题面好长。

这场还在 testing，就不放代码了。

E - Multi-Target Attacks

题意

给定 \(k \leq 10^5\) ，构造 \(n \leq 500\) 个点使得恰好有 \(k\) 对点的欧式距离等于曼哈顿距离。

题解

一条线上的点满足这个条件，一条线上有 \(m\) 个点就有 \(\frac{m\times (m+1)}{2}\) 个选择，选择若干个 \(m\) 凑够 \(k\) ，铺成一个个横条就行（\(x\) 不同 \(y\) 相同）。

从大到小选，最大的 \(k\) 大致需要 \(n=460\) 左右，可以接受。

不知道最小 \(n\) 怎么求（好奇）。

F. Goodbye, Banker Life

题意

\[T_{1,1}=k, T_{i,j} = \begin{cases} T_{i-1,j-1} \oplus T_{i-1,j}, &\textrm{if } 1 < j < i \\ T_{i-1,j}, &\textrm{if } j = 1 \\ T_{i-1,j-1}, &\textrm{if } j = i \end{cases} \]

给定 \(k\)，求出第 \(n\) 行的所有元素值。

题解

改成记录被加次数，奇数为 \(k\)，偶数为 \(0\)，发现这就是杨辉三角，\((i,j)\) 上的被加次数是 \(\binom{i-1}{j-1}\)。

当 \(n \And m=m\) 时，\(\binom{n}{m}\) 是奇数，直接判断即可。

G - Calculated the Sum

题意

设 \(f(n,p)\) 为将 \(n\) 的 \(p\) 进制表示翻转后再转为 \(10\) 进制后的数字，给定 \(n,k\) ，求 \(\sum_{i=2}^k f(n,i)\)。

\(n \leq 3 \times 10^5\)，多组测试对 \(n\) 没有限制。

题解

若 \(k>n\) 则 \(f(n,k)=n\)，现在考虑 \(k \leq n\) 的情况。

若 \(k^2\leq n\)，那么暴力求解 \(f(n,k)\)，单次求解复杂度为 \(\log_kn\)。这样的 \(k\) 最多 \(\sqrt{n}\) 个。

多 \(k^2 > n\)，那 \(n\) 的 \(k\) 进制表示最多为 \(2\) 位，最低位是 \(n\mod k=n-k\times \lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)，最高位是 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)，此时：

\[f(n,k)=k\times (n-k\times \lfloor\frac{n}{k}\rfloor)+\lfloor\frac{n}{k}\rfloor \]

化简得 ：

\[f(n,k)=kn-k^2 \lfloor\frac{n}{k}\rfloor+\lfloor\frac{n}{k}\rfloor \]

\(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\) 整除分块，是零次方，一次方和二次方和，单组测试复杂度 \(O(\sqrt{n})\) 。