BIT training short round ＃4 summary

BIT 校赛 2.5h场第四场总结

• solved 4/6, rk.1

历程

这场难度跨度有点大，疑似 ABC < D <<<...<<< EF。

直接从 D 开始说，推了一下发现一对 \(x_i,x_j\) 凑出的区间能得到的价格总和是从点 \((x_i,c_i)\) 到 \((x_j,c_j)\) 的梯形面积，那一种方案就能划分成若干个 \(x_i,x_j\) 区间，把 \(x_i\) 排个序，暴力判断划分就可以了。

E 完全不会，看样例 \(2\) 是找全局中位数，蒙了一个，结果是错的。

F 那是更不会了。

赛后发现 F 比 E 简单。

部分题解

F - Dominoes

常见的套路是对原图黑白染色连二分图，由于题目说明一定存在密铺方案，所以二分图一定存在完备匹配，也就是黑白点的数量一定相等。

通过操作使二分图不存在完备匹配，简单的做法是选两个黑点或白点，设黑点有 \(n\) 个，黑白点总共就有 \(2\times \binom{n}{2}\) 个方案，若 \(n > 1000\)，那这个值大于 \(10^6\)，直接输出。现在考虑 \(n < 1000\) 的情况。

我们枚举删除的黑点是什么，此时要求出删除一个点后的二分图，白点的必经点的数量，即所有最大匹配都必须包含的点，删除这种白点，该二分图就不存在完备匹配，就是合法的方案。

如何求必经点，扩展一下，求出黑点和白点的必经点：考虑求出任意一组最大匹配，从 \(S\) 出发，走残量网络中流量为 \(1\) 的边，标记所有左侧黑点，再从 \(T\) 出发，走所有流量为 \(0\) 的边，标记所有可达的右侧白点，则这些点是非必须点，其补集就是所有必经点。

为什么？以 \(S\) 为例子，首先能一步到达的点在该最大匹配中不是匹配点，这些点必然是非必经点。从这些点开始，走偶数条流量为 \(1\) 的边，就是一条 非匹配边和匹配边 交替出现的路径（从左侧到右侧为非匹配边，右侧到左侧为匹配边）。通过反转这一条路径，最大匹配不变，但终点处的点失去了原来的匹配，变成了非匹配点，所以这样的点也是非必经点。

从 \(T\) 出发是同理的。

复杂度为 \(O(n^{2.5})\) 因为要跑 \(n\) 次网络流。

事实上，对原图跑完最大匹配后，删除一个点，只需要从非必经点开始找一条增广路增广，就能求出新图的最大流，避免了重复网络流，复杂度 \(O(n^2)\)。

题外话

注意区分开 可行，非必经，必经 的概念，可行意味着至少存在一个匹配经过该元素，而非必经可能存在没有任何匹配经过该元素的情况。

这题要求必经点，怎么求出必经边？对残量网络进行点双缩点，一条边是必经边当且仅当：该边是这个最大匹配的匹配边且两端点 \(u,v\) 不在同一个点双中。若 \(u,v\) 在同一个点双中，那必然存在选择 \(u,v\) 这条边的环路，反转后 \(u,v\) 这条边变为非匹配边，该边不是必经边。

可行边不一定是必经边的补集，若边 \(u,v\) 的两端点在同一点双中，则该边是可行边。

可行点不一定等于非必经点，一个点是可行点当且仅当这个点存在一条可行边出边。