BIT training long round #2 summary

BIT 校赛 5h赛第二场总结

选自 2022 年第四届河南省 CCPC 大学生程序设计竞赛 正式赛

• solved 9/12, rk3, 罚时 15 发

赛时 rk1 体验卡（半小时不到），B首杀，还挺好（C 差点也首杀，难受，还是赛时没想明白）。

历程

这场没怎么犯病，先开的 B 题，大概有思路，第一版的 DP 过程写的有问题（纯 ICU），但样例根本不需要 DP......5 发罚时就这样交上去了，最后一发还被卡了，原定的是最长串限制在 20，卡飞了。

这场 G 好逆天。

接着开的是 K，一眼基环树加根号，最开始忘了讨论 a,b 很小，点没有到环上的情况了，又重写了一个，大部分时间在写找环。

J 不想思考写线段树合并结果是时空双双被卡......

接着是 H，不知道为什么写这么久，最后有个小细节没处理好，又挂了几发。

C 做了很久，一开始就想到维护上升段个数了，但最后的答案统计改了好几版，兜兜转转才转到组合数上（一开始一直写的排列数），组合数的参数又改了好几版，中途发现线段树还写挂了！

最后半小时想开掉 I，最终被完虐，哎哎工程题怎么这么坏。

部分题解

B - Hash

经过取模，区间哈希值就变小了，此时分成两个串是更优的，大概长度为 \(8\) 的子串哈希值就会被取模，所以最坏情况下，所有长度大于 \(16\) 的串都是劣的，都存在更好的多分割方案。

于是直接 DP 就行，复杂度 \(O(16n)\)。

K - 复合函数

连有向边后形成基环树，可以发现环长种类数不超过 \(\sqrt{n}\)，并且只要 \(b-a \equiv 0~ (mod~ w)\) ，那环长 \(w\) 就是可接受的。要注意 \(\min(a,b)\) 很小时，一些点可能走不到环上，记录环长的同时还要记录每个点离环的距离，复杂度是 \(O(n\sqrt{n})\) 的。

J - Mex Tree

转化后就是求，任意定一个根后：

• 每个点子树的 Mex 值是否为 \(a_u\)。
• 去掉这个点的子树，剩下点的 Mex 值是否为 \(a_u\)。

题目限制卡的很死，不能写线段树合并，考虑更好的做法。

题目限制了没有两个点权值一样，那判断一个子树的 Mex 值是不是 \(a_u\) ，只要判断这个子树小于 \(a_u\) 的值的数量是否为 \(a_u-1\) 即可。而判断去掉子树剩下的点的 Mex，只要 \(u\) 的子树均不存在小于 \(a_u\) 的值，那剩余的子树 Mex 值就是 \(a_u\)。

从小到大加点，用线段树维护即可。

C - Serval 的试卷答案

考虑对一个区间进行隔板法分割，分割 \(x\) 个板子就有 \(x+1\) 道题，设区间长度为 \(n\) ，我们需要在 \(n-1\) 个板子中选择 \(k-1\) 个。

对于值不上升的位置（如 \(AA,BA,DA,DD\cdots\)），我们必须要隔板，而其他位置任意分割，设这样的非法位置有 \(x\) 个，答案即为 \(\binom{n-1-x}{k-1-x}\)，即从 \(n-1-x\) 个任意分割的隔板中选择 \(k-1-x\) 个剩余的隔板。

线段树维护区间连续位置 \(s_1s_2,s1,s2\in \{A,B,C,D\}\) 的数量，复杂度为 \(O(16nlog n)\)。