图的连通性之割点与桥

在无向图中：

割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和他相邻的所有边，图中的连通分量增加，则该顶点称为割点。

桥：无向连通图中，去掉一条边，图中的连通分量增加，则这条边称为割边或桥。

 

双连通分量（BCC）：

边双连通：无向图中，任意去掉一条边都不会改变此图的连通性，即不存在桥，就是边双连通图。

（如果是个环，则任意两点都有两条路到达对方，那就没有桥了，就是边双连通分量）

（双连通分量就可以简单理解为若干个简单环连在一起，至少有一个公共节点）

（不在双连通分量中的边就是桥）

 

 

点双连通：无向图中，任意去掉一个节点都不会改变此图的连通性，即不存在割点，就是边点双连通图

（点双连通分量，就是若干个环有一条边是重合的）

 

 

 

 

 要从编号0开始记录边

 

例题：POJ - 3177

 

分析：一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？

方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

其实，本题数据保证是一个连通图，那么桥=缩点数-1；

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 601
using namespace std;

int dfn[maxn],low[maxn],bcc[maxn],stk[maxn],index=0,bccnum=0,top=0,ef[maxn];

int cnt=0;
struct node{
    int to,next;
}edge[maxn];
int head[maxn];

void Tarjan(int root){
    dfn[root] = low[root] = ++index;
    stk[++top] = root;  //节点入栈
    for(int i=head[root]; i!=-1; i=edge[i].next){
        int v =edge[i].to;
        if(ef[i]) continue;
        ef[i] = ef[i^1] = 1;    //无向图双向边  ^1是反边  边下标要从1开始
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v);
            low[root] = min(low[root],low[v]);

        }
        else low[root] = min(low[root],dfn[v]);
    }
    if(low[root] == dfn[root]){
        bccnum++;
        for(;;){
            int x = stk[top--];
            bcc[x] = bccnum;
            if(x==root) break;
        }
    }
}

void add(int u,int v){
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

int in[maxn];
void init(){
    top=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(in,0,sizeof(in));
}

int main(){
    int n,m;
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1; i<=m; i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++){
        if(!dfn[i])
            Tarjan(i);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=head[i]; j!=-1; j=edge[j].next){
            if(bcc[i] != bcc[ edge[j].to ]){
                in[ bcc[i] ]++;
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=bccnum; i++){
        if(in[i]==1)
            ans++;
    }
    printf("%d\n", (ans+1)/2);
    return 0;
}

 

 

点双连通分量：