【题解】p2388 阶乘之乘

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题解一堆\(O(n)\)算法真给我看傻了。

考虑\(10=2*5\)，因子2肯定更多，所以计算因子5的个数即可。

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从5到n这\(n-5+1\)个数的阶乘里面，都各自含有一个因子\(5=1*5\)。

从10到n这\(n-10+1\)个数的阶乘里面，都各自含有一个因子\(10=2*5\)。

故因子5的总个数为\((n-5+1)+(n-10+1)+...+(n \% 5+1)\)。

不难发现这是一个等差数列，首尾项如上，项数为\(n/5\)。

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然而这样并不对，因为我们只考虑到了含有一个因子5的情况，但像\(25=5*5\)这样含有两个因子5的情况，我们还得重复计算。

因此，枚举我们要统计的因子i，并用上面等差数列的思想分别计算其个数，统计入答案即可。

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值得注意的一点：由于前面在因子\(i=5\)的时候，我们已经将\(25=5*5\)中的一个因子5统计入答案。

因此当因子\(i=25\)的时候，只要统计剩余的一个因子5即可。

时间复杂度\(O(logn)\)。

#include<cstdio>

#define ll long long

using namespace std;

int main()
{
//	freopen("in.in","r",stdin);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ll ans=0;
	for(int i=5;i<=n;i*=5)
		ans+=(ll)((n-i+1)+(n%i+1))*(n/i)/2;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}