线性基学习笔记

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定义

异或和

设 S 为一无符号整数集，定义异或和 \(\rm xor-sum(S)=S_1 \rm xor S_2 \rm xor \dots S_{|S|}\)

张成

设 \(T \subseteq S\)，所有这样的自己 \(T\) 的异或和组成的集合称为 \(S\) 的张成，记作 \(span(S)\)。

线性相关

对于一个集合 \(S\)，如果存在一个元素 \(S_j\)，使得，\(S\) 在去除这个元素后得到的集合 \(S'\) 的张成 \(span(S')\) 中包含 \(S_j\)，则称 \(S\) 线性相关。

相对的，如果不存在这样的元素 \(S_j\)，则称 \(S\) 线性无关

线性基

我们称 \(B\) 是集合 \(S\) 的线性基，当且仅当:

1. \(S\) \(\subseteq\) \(\rm span(S)\)

2. \(B\) 线性无关

线性基的个数称为长度

线性基的基本性质:

1. \(B\) 是极小的满足线性基性质的集合，它的任何真子集都不可能是线性基
2. \(S\) 中任意元素都可以唯一表示为 \(B\) 中若干元素异或起来的结果

构造

设集合 S 中最大的数在二进制意义下有 L 位，使用一个 \([0..L]\) 的数组 \(a\) 来存储线性基。

这种构造保证了一个特殊性质，对于每个 \(i\)，\(a_i\) 以下两种可能：

1. \(a_i=0\)，并且
   \(\circ\) 只有满足 \(j>i\) 的 \(a_j\) 的第 \(i\) 个二进制位可能为 \(1\)
2. \(a_i\neq 0\)，并且
   \(\circ\) 整个 \(a\) 数组中只有 \(a_i\) 的第 \(i\) 个二进制位为 \(1\)
   \(\circ\) \(a_i\) 更高的二进制位一定为 \(0\)
   \(\circ\) \(a_i\) 更低的二进制位可能位 \(1\)

我们称第 i 位存在于线性基中，当且仅当 \(a_i\neq 0\)

证明

显然特殊性质成立。

首先将 \(S\) 中的数插入到集合 \(B\) 中。对于一个 t 若它被消成 \(0\) 则说明可以被线性基表示，若插入到 \(B\) 中，考虑在之前已经做了若干次异或变换，而这些变换都是可逆的，所以用 \(a\) 中元素可以表示插入的元素。

单次插入 \(O(\log t)\)，空间同样为 \(O(\log t)\)

合并

两个线性基在 \(O(\log^2 t)\) 时间内合并，意义是用一个合并后的线性基表示 \(S_1\) 和 \(S_2\)

暴力插入就完事了

题目

毛毛虫（没权限也看不了

看到集合中取数做异或立刻想到线性基，显然有一个 \(O(n^2\log V)\) 的做法……

转化一下看看能不能树上启发式合并，似乎不太行，但是考虑到自身到根的一条道路不存在，可以联想到出栈序，随即想到拍到序列上维护。

然后就得到一个 \(O(n\log^2V)\) 的做法，拍到序列上，然后暴力合并两个线性基。

考虑这个线性基具有饱和性，即插入 \(O(\log V)\) 就不能继续相里插入元素。

所以可以只合并这 \(O(\log V)\) 个线性基。

复杂度做到 \(O(n\log V\ +\ \log^4V)\)

代码

说一点自己自己对这个东西的理解

考虑这是一个 \(\log V\) 的向量，线性基中的元素相当于基向量，使用基向量来线性组合出某个向量 \(x\)。特殊地，系数只能为 \(0\) 或 \(1\)。