Daily Probs 3

感觉应该把 Daily Prob 系列改名级数求和系列。

以下提到 boder 的时候均忽略长度等于原串的 boder。
定义函数 \(f(x)\)，当 \(x\) 的十进制表示存在 boder 的时候，\(f(x) = 1\)，否则 \(f(x) = 0\)。
例如，\(f(123123) = 1\)，\(f(1231) = 1\)，\(f(1234) = 0\)。

判断以下两个函数的敛散性：

\[\sum \limits_{k = 1}^{+\infin} \frac{f(x)}{x} \\ \sum \limits_{k = 1}^{+\infin} \frac{1 - f(x)}{x} \]

（即存在 boder 的数的倒数和、不存在 boder 的数的倒数和）

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首先看第一个，\(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{f(x)}{x}\)。

我们只考虑最高位和最低位相同的数。这部分不超过 \(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{1}{100k}\)，所以这个级数是发散的。

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然后看第二个，\(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{1 - f(x)}{x}\)。
使用经典的分组求和技巧，我们考察所有长度为 \(n\) 的数。
其中，有长度为 \(k\) 的 boder 的数刚好有 \(10^{n - k}\) 个。
那么没有 boder 的数的个数则不少于 \(10^n - \sum \limits_{k = 1}^{n} 10^{n - k} > 9 \times 10^{n - 1}\)。
而长为 \(n\) 的数的倒数不会小于 \(\frac{1}{10^{n+1}}\)。
所以这部分的和不会小于 \(\frac{9}{100}\)。

综上，我们知道该级数发散。

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挂一个直觉领域大蛇。