更快的无向图三元环计数

一个一个数是不能突破 \(O(m \sqrt m)\) 的下界的。
设矩阵乘法的复杂度为 \(O(n^\omega)\)，这里提供一种 \(O(m^{\frac{2\omega}{\omega + 1}})\) 的做法。
例如，使用 Strassen 方法可以将其复杂度降为 \(O(m^{1.475})\)。

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算法1. 矩阵乘法

考虑我们枚举一条边 \((a, b)\)，接下来需要计数有多少个点 \(c\) 满足 \((a, c), (b, c)\) 均存在。
设图的邻接矩阵为 \(A\)，则由 \((a, b)\) 边参与形成的三元环个数即为 \(\sum \limits_{i = 1}^{n} A_{a, i} \times A_{i, b}\)
不难看出这是一个矩阵乘法的形式。我们可以求出来 \(B = AA^T\)，然后 \(B_{a, b}\) 即为所求。

这里需要计算一次矩阵乘法，然后 \(O(m)\) 枚举边。
由于矩阵乘法不会低于 \(O(n^2)\)，所以复杂度为 \(O(n^\omega)\)。

算法 1 的好处在于，不是一个一个数的，可以突破 \(O(m \sqrt m)\) 的下界。
不过稀疏图上表现很差就是了。

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算法2. 生成树

这里是另一个算法。
假设图连通，我们求图的一个生成树出来。

然后将三元环拆成以下四种情况：

1. 由三个树边组成。显然不成立。
2. 由一个树边两个非树边组成。
3. 由两个树边一个非树边组成。
4. 由三个非树边组成。

首先看情况 2。
我们枚举一个点 \(p\)，然后标记所有通过非树边与 \(p\) 相连的点。
然后判断这些点之间由多少祖先关系即可。
这部分的复杂度为 \(O(m)\)。

然后看情况 3。
我们枚举一条非树边 \((a, b)\)，然后判断 \(a, b\) 两个点在树上的距离是否为 \(2\) 即可。
距离为 2 可能是 fa[fa[a]] = b 或者 fa[fa[b]] = a 或者 fa[a] = fa[b]。
这部分复杂度 \(O(m)\)。

最后，将所有非树边去掉，然后递归处理上述过程即可。

Q：该算法复杂度？
考虑每次删除一个生成树，每个点的度至少减一。
所以该过程至多进行 \(n - 1\) 轮。
复杂度即为 \(O(nm)\)。

如果阈值分治并结合暴力该算法也可以分析得到 \(O(m \sqrt m)\) 的复杂度。在此不表。
反正也是一个一个数的，不会低于 \(O(m \sqrt m)\)。
不过在稀疏随机图上表现会很好。

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阈值分治

上述两个算法分别在稠密图和稀疏图上表现良好。
这里使用阈值分治结合一下。

考虑我们先进行 \(B\) 轮算法 2，然后去掉所有的孤点，对于剩下的点使用算法 1。
所有点的总度数为 \(O(m)\)，进行 \(B\) 轮之后剩下的点在原图上的度数均 \(>B\)，而这样的点只有 \(O(\frac{m}{B})\) 个。
所以两部分的复杂度和为 \(O(mB + \left( \frac{m}{B} \right)^\omega)\)。
取 \(B = m^{\frac{\omega - 1}{\omega + 1}}\) 最优，总复杂度为 \(O(m^{\frac{2\omega}{\omega + 1}})\)。

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实现

当然，Strassen 方法常数巨大。
所以我实现矩阵乘的时候直接写的压位。复杂度 \(O(\frac{n^3}{w})\)。
总复杂度可以平衡到 \(O(\frac{m \sqrt m}{w^{\frac{1}{4}}})\)。
但是还是跑的很慢。
1.02s

另外，观察到随机图算法 2 远远跑不满。
所以可以尝试把 \(B\) 缩小并且不改变矩阵大小。
（当然这是能卡的）
这道题给 \(B\) 缩小了 64 倍仍然能过。
266ms

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拜谢 UT 提供的复杂度分析指导 orz orz orz