序偶

什么叫序偶

"序偶" 英文对照
ordered pair; ordered couples;

"序偶" 在工具书中的解释
由某个集合中元素x与y,以确定的顺序所组成的一对:第一个是x,第二个是y,称为序偶,记为(x,y)。
由有顺序的两个数所组成的一对,称为数偶,它是序偶的特例。平面上点的坐标,就是实数集的一个序偶,
(3,5)与(5,3)表示不同的点。哈密顿*用序偶来表示复数*,这种用序偶来定义一类数的思想,已成为公理化

常用的数偶只是序偶的一种特例；

1 序偶：两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而A这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上、下；左、右；3<4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。 记作<x，y>。上述各例可分别表示为<上、下>；<左、右>；<3，4>；<张华、李明>；<中国，亚洲>；<a，b>等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}＝{b，a}，但对序偶<a，b>≠<b，a>。
2 序偶的相等
定义3-4.1 两个序偶相等，<x，y>＝<u，v>，iff x＝u， y＝v。
应该指出，序偶<a，b>中两个元素不一定来自同一个集合，它们可以代表不同类型的事物。例如，a代表操作码，b代表地址码，则序偶<a，b>就代表一条单地址指令；当然亦可将a代表地址码，b代表操作码，<a，b>仍代表一条单地址指令；但上述这种约定，一经确定，序偶的次序就不能再予以变化了。在序偶<a，b>中，a称第一元素，b称第二元素。
3 序偶的推广
序偶的概念可以推广到三元组的情况。
三元组是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，可形式化表示为<<x，y>，z>。 由序偶相等的定义，可以知道<<x，y>，z>＝<<u，v。>，w>，iff<x，y>＝<u，v>，z＝w，即x＝u，y＝v，z＝w。今后约定三元组可记作<x，y，z>。应该注意的是：当x≠y时，<x，y，z>≠<y，x，z>。因为<x，<y，z>>不是三元组。同理四元组被定义为一个序偶，其第一元素为三元组，故四元组有形式为<<x，y，z>，w>且
<<x，y，z>，w>＝<<p，q，r>，s>(x＝p)∧(y＝q)∧(z＝r)∧(w＝s)
这样，n元组可写为<<x1，x2，…，xn-1>，xn>且
<<x1，x2，…，xn-1>，xn>＝<<y1，y2，…，yn-1>，yn>
(x1=y1)∧(x2=y2)∧…∧(xn-1＝yn-1)∧(xn＝yn)
一般地，n元组可简写为<x1，x2，…，xn>，第i个元素xi称作n元组的第i个坐标。
4 笛卡尔积
序偶<x，y>其元素可以分别属于不同的集合，因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。
定义3-4.2 令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个成员是B的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积。记作A×B。
A×B＝{<x，y>|(x∈A)∧(y∈B)}
例题1 若A＝{α，β}，B＝{1，2，3}，求A×B，B×A，A×A，B×B，以及(A×B)∩(B×A)。
解 A×B＝{<α，1>，<α，2>，<α，3>，<β，1>，<β，2>，<β，3>}
B×A＝{<1，α>，< 1，β>，<2，α>，< 2，β>，<3，α}， <3，β>}
A×A＝{<α，α>，<α，β>，<β，α>，<β，β>}
B×B＝{<1，1>，<1，2}，<1，3>，<2，1>，<2，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>，<3，3>}
(A×B)∩(B×A) ＝
由例题1可以看出A×B≠B×A。
我们约定若A＝ 或B＝，则A×B＝
由笛卡尔积定义可知：
(A×B)×C ＝{<<a，b>，c>|(<a，b>∈A×B)∧(c∈C)}
＝{<a，b，c>|(a∈A)∧(<b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C) ＝{<a，<b，c>>|(a∈A)∧(<b，c>∈B×C)}
由于<a，<b，c>>不是三C元组，所以
(A×B)×C≠A×(B×C)
5 笛卡尔积的性质
定理3-4.1 设A，B，C为任意三个集合，则有
a)A×(B∪C) ＝(A×B)∪(A×C)
b)A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)
c)(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)
d)(A∩B)×C＝(A×C)∩(B×C)
证明 a)设<x，y>∈A×(B∪C)，则x∈A，y∈(B∪C)，即x∈A且(y∈B或y∈C)。
故 (x∈A，y∈B) 或 (a∈A，y∈C)
得到 <x，y>∈A×B
或 <x，y>∈A×C，<x，y>∈[(A×B)∪(A×C)]
所以 A×(B∪C)C(A×B)∪(A×C)
又设 <x，y>∈[(A×B)∪(A×C)]
则 <x，y>∈A×B
或 <x，y>∈A×C， 即x∈A，y∈B或x∈A，y∈C， 即x∈A且(y∈B或y∈C)。
故 x∈A且y∈(B∪C)
得到 <x，y>∈A×(B∪C)
所以 (A×B)∪(A×C)CA×(B∪C)
因此 A×(B∪C) ＝(A×B)∪(A×C)
c)若<x，y>∈(A∪B)×C (x∈(A∪B)∧y∈C)
(x∈A∨x∈B)∧(y∈C)
(x∈A∧y∈C)∨(x∈B∧y∈C)
(<x，y>∈A×C)∨(<x，y>∈B×C)
<x，y>∈((A×C)∪(B×C))
因此 (A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)
定理3-4.2 若C≠，则
AB(A×CB×C)(C×AC×B)
证明 若y∈A，假定AB，有
<x，y>∈A×C(x∈A∧y∈C)(x∈B∧y∈C)<x，y>∈B×C
因此 A×CB×C
反之，若C≠，A×CB×C，取y∈C，则有
x∈A (x∈A)∧(y∈C)
(<x，y>∈A×C)
(<x，y>∈B×C)
(x∈B)∧(y∈C)
x∈B
因此 AB
同样，定理的第二部分AB (C×AC×B)可以类似地证明。
定理3-4.3 设A、B、C、D为四个非空集合，则
A×BC×D的充要条件为AC，BD。
证明 若A×BC×D，对任意x∈A和y∈B有
(x∈A)∧(y∈B) (<x，y>∈A×B)
(<x，y>∈C×D)
(x∈C)∧(y∈D)
即 AC且BD。
反之，若AC且BD，设任意x∈A和y∈B，我们有
< x，y >∈A×B (x∈A∧y∈B)
(x∈C∧y∈D)
(<x，y >∈C×D)
因此 A×BC×D
6 n个集合的笛卡尔积
因为两集合的笛卡尔积仍是一个集合，故对于有限集合可以进行多次的笛卡尔积运算。
为了与n元组一致，我们约定：
A1×A2×A3＝(A1×A2)×A3
A1×A2×A3×A4＝(A1×A2×A3)×A4
＝((A1×A2)×A3)×A4
一般地，A1×A2×…×An＝(A1×A2×…×An-1)×An
＝{<x1，x2，…，xn>|(x1>∈A1)∧(x2∈A2)∧…∧(xn ∈An)}
故A1×A2×…×An是有关n元组构成的集合。特别地，A×A可以写成，同样地A×A×A
＝，…，
*重点：序偶表示两个有顺序的对象；笛卡尔积中也有顺序的概念。

 

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