pdf pmf cdf

pmf pdf cdf 概念辨析

其实就是英文单词的首字母缩写。

概率质量函数 pmf，用于离散型随机变量：非负性、正则性。pmf 的函数值不能大于 1

概率密度函数 pdf，用于连续型随机变量：非负性、正则性。pdf 函数值可能大于 1（用密度去理解）

概率分布函数 cdf，单调性（单调非减）、有界性、右连续性、非负性

二维 r.v. 的一个特殊性质

连续型 r.v. 的分布函数必是连续函数, 证明；但其 pdf 不一定连续，可能有跳跃间断点。

特例 - 既非离散又非连续型随机变量

⚠️存在既非离散又非连续型的随机变量！如：

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\\ \frac{1+x}{2}, & 0 \leq x < 1 \\\ 1, & x \geq 1 \end{cases} \]

cdf 不连续，说明不是连续型随机变量；样本点充满了整个区间，说明不是离散型随机变量。