概率的定义

概率的定义

概率有古典定义、几何定义、频率定义（统计定义）和公理化定义（柯尔莫戈洛夫公理）共四种定义。（算上茆书后面提到的主观定义，那就一共有 5 种定义）

其中古典定义、几何定义和频率定义（统计定义）都满足概率的公理化定义？

具体介绍可参见该博文 概率的四种定义及公理化定义产生

区别古典概率与古典统计学派：

• 古典概率的定义基于等可能性假设，主要用于有限离散样本空间。
• 古典统计学派（频率学派），区别于贝叶斯学派，通过大量独立实验将概率解释为统计均值（大数定律）。古典统计学派（频率学派）使用的像是概率的频率定义（统计定义），而不是古典定义，不要搞混了！

贝特朗悖论等概率悖论推动了概率公理化定义的出现（在此之前概率并未得到严谨定义，从而造成了许多悖论）。概率的公理化定义 \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) 约束了：

• 样本空间 \(\Omega\) (随机现象的一切可能的基本结果组成的集合) 随机变量就是定义在样本空间 \(\Omega\) 上的函数。
• 测度空间（或称事件域） \(\mathscr{F}\) (样本空间的某些子集所组成的集合类)
• 定义在 \(\mathscr{F}\) 上满足非负性、正则性和可列可加性的概率测度（或称实值函数） \(P\) .

那么贝塔朗悖论对应的问题应该如何来解决呢？计算机随机模拟是一种办法（在圆上任意选择两个不同的点连成弦，测量弦长，模拟个十万八千次即可用频率逼近概率）。

其中测度空间 \(\mathscr{F}\) 是样本空间 \(\Omega\) 的子集族，通常可以取 \(2^{\Omega}\). (空集+单元素集+……全集)

例如：投掷一枚硬币的实验在概率公理化定义下可以描述如下：\(H\) 表示正面，\(T\) 表示反面。

1. 样本空间：\(\Omega = \{H, T\}\)。
2. 事件空间：\(\mathscr{F} = \{\varnothing, \{H\}, \{T\}, \{H, T\}\}\)。
3. 概率测度：对于所有 \(A \in \mathscr{F}\)，定义： \(P(\varnothing) = 0, \quad P(H) = \frac{1}{2}, \quad P(T) = \frac{1}{2}, \quad P(\{H, T\}) = 1\)

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关于概率 & 测度

• 有限或无限可列个概率为 0 的事件的并仍然是 0。
• 无限不可列个概率为 0 的事件的并可以有正概率。

概率 0 ≠ 绝对不可能发生，只是测度为 0(人家只是零测集，不是不可能事件)；但 P (不可能事件)=0

同样，概率 1≠必然事件，一定发生，只是测度为 1. 但 P (必然事件)=1

Lebesgue (勒贝格)测度告诉我们，整个区间的测度是 1，而单个点的测度是 0。