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洛谷传送门 第一步是一个经典结论，\(L = m^{\gcd(a, b)} + 1\)，\(R = m^{\gcd(c, d)}\)。 因为 \(L \equiv 1 \pmod m\) 且 \(R \equiv 0 \pmod m\)，所以可以把问题的范围改成 \([1, n = R - L + 阅读全文
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Bluestein's Algorithm 用于当不是 \(2\) 的整数次幂时对多项式的 (I)DFT。 考虑现在要求： \[f_m = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} a_k w^{mk} \]Bluestein 的核心思想在于拆 \(mk\)。不难证明 \(mk = \ 阅读全文
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考虑分拆数的生成函数 \(\prod\limits_{i = 1}^n \frac{1}{1 - x^i}\)。 研究分母，相当于是互异分拆数，奇数个数被统计 \(-1\) 次，偶数个数被统计 \(1\) 次。 考虑 Ferrers 图，发现在大部分情况下互异奇数分拆数和互异偶数分拆数可以互相转换。 阅读全文
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洛谷传送门 CF 传送门 直接区间 dp 可以做到 \(O(n^3)\)，卡常可过，在此就不赘述了。 为了方便先把连续的数字缩成一段。我们考虑直接从前往后扫，扫的过程中 dp。设 \(f_{i, j}\) 为考虑了 \([1, i]\)，还有 \(j\) 个没配对的左括号的方案数。 但是我们发现我们 阅读全文
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洛谷传送门 设 \(G\) 为斐波那契数列的生成函数，显然有 \(F = F \times G + 1\)。那么 \(F = \frac{1}{1 - G} = 1 + \frac{x}{1 - 2x - x^2}\)。问题是如何展开 \(\frac{x}{1 - 2x - x^2}\)。 因为 \ 阅读全文
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求逆 考虑倍增。 若已经求出 \(A \times B' \equiv 1 \pmod {x^n}\)，我们希望求出 \(B\) 使得 \(A \times B \equiv 1 \pmod {x^{2n}}\)。 有： \[B - B' \equiv 0 \pmod {x^n} \]\[(B - 阅读全文
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洛谷传送门 CF 传送门 考虑用相邻两个球之间的距离来描述一个状态。 设距离序列为 \(a_1, a_2, \ldots, a_k\)（忽略 \(0\)）。考虑鞅与停时定理，设一个状态的势能为 \(\sum\limits_{i = 1}^k f(a_i)\)，一次操作能使得势能期望减少 \(1\)。 阅读全文
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洛谷传送门 考虑 \(d = 2\) 的部分分。相当于只用 \(2\) 次操作把 \(T\) 变成一条链。 不妨设最后变成的是一个 \(1 \sim n\) 的链，如果不是可以把点重编号。 第一次操作考虑以 \(n\) 为根，每次取每个儿子的子树中的最大值为新的根并和原来的根连边，这样会将整棵树具有 阅读全文
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洛谷传送门 CF 传送门 不妨假设先手的牛在后手的牛左边，右边是对称的。 直接给出结论：先手必败当且仅当全部 \(b_i - a_i\) 为奇数。 证明考虑归纳，首先 \(\forall i \in [1, n], b_i - a_i = 1\) 是必败态，因为先手只能往左退，最后后手会把先手逼到最 阅读全文
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洛谷传送门 CF 传送门 考虑一些复杂度带根号的做法。 考虑分块，对于一个块，我们需要处理出一个数经过这个块会变成哪个数。以下假设块长 \(\ge 10\)（最后一个块块长可能 \(< 10\)，暴力处理即可）。 观察这个递推式 \(f_i = \left\lfloor\sqrt{f_{i - 1} 阅读全文