UVa 11440 Help Tomisu 欧拉函数

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题意：求2~n！中x的所有素因子大于m的x的个数

由x的所有素因子大于m可知 

gcd(x,m!)==1

x中不含有任何一个小于m的素因子 那我们将m!和x写成素数相乘的形式 他们的gcd等于1

若x>m! 我们有 gcd(x,m!)==gcd(m!,x%m!)==1 

也就是说x是m!简单剩余系中某一个数的倍数 

我们有gcd(x,m!)==1 可以求出 x<m!的个数φ(m!) 即欧拉函数  

要求在2~n!中x的个数 就是m！的简单剩余系的个数乘n!/m! 

(关于简单剩余系 大家可以百度)

现在我们知道了 答案的计算方式 下面就是计算 

由于n-m<=100000 阶乘完全可以循环处理 

但是m!<=1e7 我们就从递推考虑

设 fact[i-1] =φ(i-1) 

fact[i-1] = (i-1)! *(1-1/p1)*(1-1/p2).....(1-1/pk)  k为素数个数

如果当前的i不是素数 就可以写成素数的乘积 不会使素数个数增加 fact[i]=fact[i]*i

如果当前的i为素数 阶乘多了一个m 后面多了一个(1-1/m) 两者相乘为 (m-1) 

 

 

#include <cstdio>
#include <cctype>

typedef long long LL;
const int mod=1e8+7;
const int MAXN=10000001;

int n,m,tot;

int prime[MAXN/10];

LL fact[MAXN];

bool vis[MAXN];

inline bool read(int&x) {
    int f=1;register char c=getchar();
    for(x=0;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=getchar());
    for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=getchar());
    return x=x*f;
}

inline void pre() {
    for(int i=2;i<MAXN;++i) {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;++j) {
            if(i*prime[j]>=MAXN) break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    return;
}

inline void Euler() {
    fact[1]=fact[2]=1;
    for(int i=3;i<MAXN;++i)
      fact[i]=(fact[i-1]*(vis[i]?i:(i-1)))%mod;
    return;
}

int hh() {
    pre();
    Euler();
    while(read(n)&&read(m)) {
        LL ans=fact[m];
        for(int i=m+1;i<=n;++i)
          ans=(LL)(ans*i)%mod;
        printf("%lld\n",(ans+mod-1)%mod);
    }
    return 0;
} 

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}