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SKYIV STUDIO

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引言

我们知道,对数函数 ln(x) 可以展开为泰勒级数:

ln(1+x) A ln(1+x) B

但是下面这个泰勒级数展开式收敛得更快:

ln(x) A ln(x) B

经过简单计算可知上式中 y = (x - 1) / (x + 1) 。

实现该算法的 C# 程序

根据上面的第二个泰勒级数展开式,我们可以为 C# 的 decimal 数据类型实现如下的 Log 扩展方法:

 1 using System;
 2 
 3 namespace Skyiv.Extensions
 4 {
 5   static class DecimalExtensions
 6   {
 7     static readonly decimal ln10 = 2.3025850929940456840179914547m;
 8     static readonly decimal lnr = 0.2002433314278771112016301167m;
 9 
10     public static decimal Log10(this decimal x)
11     {
12       return Log(x) / ln10;
13     }
14 
15     public static decimal Log(this decimal x)
16     {
17       if (x <= 0) throw new ArgumentException("Must be positive");
18       int k = 0, l = 0;
19       for (; x > 1; k++) x /= 10;
20       for (; x <= 0.1m; k--) x *= 10;        // ( 0.1, 1 ]
21       for (; x < 0.9047m; l--) x *= 1.2217m; // [ 0.9047, 1.10527199 )
22       return k * ln10 + l * lnr + Logarithm((x - 1) / (x + 1));
23     }
24     
25     static decimal Logarithm(decimal y)
26     { // y in ( -0.05-, 0.05+ ), return ln((1+y)/(1-y))
27       decimal v = 1, y2 = y * y, t = y2, z = t / 3;
28       for (var i = 3; z != 0; z = (t *= y2) / (i += 2)) v += z;
29       return v * y * 2;
30     }
31   }
32 }

在这个程序中:

  1. 第 7 行是事先计算出来的 ln(10) 的值,用于第 12 行和第 22 行。
  2. 第 8 行是事先计算出来的 ln(1.2217) 的值,用于第 22 行。
  3. 第 15 至 23 行的 Log 扩展方法就是用来计算自然对数了。
  4. 通过第 19 至 20 行,将参数 x 的值变换到 ( 0.1, 1 ] 的区间中。这两个循环只会执行其中的一个,且循环次数不超过 28 次。
  5. 通过第 21 行,进一步将参数 x 的值变换到 [ 0.9047, 1.10527199 ) 的区间中。这个循环执行次数不超过 11 次。
  6. 第 22 行通过调用 Logarithm 方法来计算自然对数。传入的参数是 (x - 1) / (x + 1),其范围大约在 ( -0.05, 0.05 ) 的区间中。
  7. 第 22 行的表达式是基于 ln(xy) = ln(x) + ln(y) 和 ln(xn) = n ln(x) 这两条对数函数的运算规则。当然,后者是前者的特例。
  8. 第 25 至 30 行的 Logarithm 方法使用泰勒级数来计算自然对数,它的参数 y 越接近零收敛得越快。
  9. 注意,它的返回值是 ln((1+y)/(1-y)),而不是 ln(y)。
  10. 这个算法还是很快的,第 28 行的 for 循环执行次数不会超过 10 次。

程序中相关常数的由来

上面程序中的 1.2217 和 0.9047 等常数是如何得到的呢?请看下面的计算:

work$ bc -l
bc 1.06
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'. 
scale=30
define x(y) { return (1+y)/(1-y); }
x(-0.05)
.904761904761904761904761904761
x(0.05)
1.105263157894736842105263157894
1.10526/0.9047
1.221686746987951807228915662650
l(1.2217)
.200243331427877111201630116698
l(1.2216)
.200161474922285626409839638619
quit
work$

上面使用 Linux 中的 bc 进行计算,l 代表 ln 函数,请参阅参数资料[3]。分析如下:

  1. 我们的目标是要将第 25 行的 Logarithm 方法的参数 y 控制在 ( -0.05, 0.05 ) 区间范围内。
  2. 由前面引言中知道,x = (1+y) / (1-y)。所以计算出 x 大约在 ( 0.9047, 1.10526 ) 区间范围内。
  3. 为了第 21 行的将 x 值变换到上述区间,计算出变换因子 1.10526 / 0.9047 ≈ 1.2217 。
  4. 这就得到第 8 行的 ln(1.2217) 的值。注意该值最后几位是 ...6698,舍入到 ...6700,误差相当小。(decimal 要求舍入到 28 个有效数字)
  5. 我原来在第 2 步采用区间 ( -0.90476, 1.105263 ),计算出来的变换因子是 1.105263 / 0.90476 ≈ 1.2216 。
  6. 相应的 ln(1.2216) 的最后几位是 ...8619,舍入到 ...8600,误差就稍微大了一点。

验证常数的值

让我们来验证一下前面计算的常数的值是否正确:

work$ bc -l
bc 1.06
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'. 
scale=30
r=1.2217
a=0.9047
b=a*r
b
1.10527199
define y(x) { return (x-1)/(x+1); }
y(a)
-.050034126109098545702735338898
y(b)
.050003985470779953710399196447
quit
work$ 

说明如下:

  1. 我们得到 x 在 [ 0.9047, 1.10527199 ) 区间范围内。
  2. 由前面的引言可知,y = (x - 1) / (x + 1),大约在 ( -0.05, 0.05 ) 区间范围内。
  3. 这说明我们以前的计算是正确的。

测试程序

下面是调用 decimal 数据类型的 Log 和 Log10 扩展方法的测试程序:

 1 using System;
 2 using Skyiv.Extensions;
 3 
 4 class Tester
 5 {
 6   static void Main()
 7   {
 8     foreach (var x in new decimal[] { 4 / decimal.MaxValue,
 9       0.0000001m, 0.0001m, 0.1m, 1, 1.2217m, 2, 10, 10000,
10       100000000, decimal.MaxValue })
11     {
12       Console.WriteLine("x : " + x);
13       Console.WriteLine("ln: " + x.Log());
14       Console.WriteLine("lg: " + x.Log10());
15       Console.WriteLine();
16     }
17   }
18 }

运行结果如下所示:

work$ dmcs Tester.cs DecimalExtensions.cs
work$ mono Tester.exe
x : 0.0000000000000000000000000001
ln: -64.472382603833279152503760732
lg: -28.000000000000000000000000000

x : 0.0000001
ln: -16.118095650958319788125940183
lg: -7.0000000000000000000000000000

x : 0.0001
ln: -9.210340371976182736071965819
lg: -4.0000000000000000000000000001

x : 0.1
ln: -2.3025850929940456840179914547
lg: -1

x : 1
ln: 0
lg: 0

x : 1.2217
ln: 0.2002433314278771112016301167
lg: 0.0869645738770510340282719812

x : 2
ln: 0.6931471805599453094172321215
lg: 0.3010299956639811952137388947

x : 10
ln: 2.3025850929940456840179914547
lg: 1

x : 10000
ln: 9.210340371976182736071965819
lg: 4.0000000000000000000000000001

x : 100000000
ln: 18.420680743952365472143931638
lg: 8.000000000000000000000000000

x : 79228162514264337593543950335
ln: 66.542129333754749704054283660
lg: 28.898879583742194740518933893

从上面运行结果可以看出,精度基本上达到了 28 位有效数字,比我前几天的“计算自然对数的快速算法”一文介绍的算法要好。

参考资料

  1. Wikipedia: Natural logarithm
  2. Wikipedia: Taylor series
  3. Linux man pages: bc - An arbitrary precision caculator language
  4. 博客园:计算自然对数的快速算法
  5. 博客园:计算指数函数的算法
posted on 2013-02-20 21:29 银河 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏