前言
在上一篇随笔中，我们定义以下函数：
- P(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的最多 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
- Q(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的刚好 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
- R(n, m) = P(n, m, n * m)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的关卡的最佳答案的步数。
- S(n, m) = Q(n, m, 1)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数。
并且对 S(n, m) 做了一些初步的研究。显然，R(n, m) ≥ S(n, m)，也更值得研究。
R(n, m) 的初步研究
如下图：
- R(1, 2) = 0
- R(2, 2) = 0
- R(1, 3) = 1 : D
- R(2, 3) = 5 : ruulD
- R(3, 3) = 10 : drruulDrdL
- R(1, 4) = 2 : DD
- R(2, 4) = 7 : UUddlUU
- R(3, 4) ≥ 21 : rrddlldRuruullDDrUruL
- R(4, 4) ≥ 25 : luUrurrdddLLrruLruulDDrdL
上述结论还有很大的改进余地。
RB猜想
在上一篇随笔中定义了 B(n, m) 函数：
- B(1, m) = m - 2, when m > 0
- B(n, m) = B(m, n), when m > 0, n > m
- B(n, m) = B(n - 1, m - 1) + B(n - 1, m), when m > 1, n > 1, n ≤ m
并提出SB猜想：S(n, m) ≥ B(n, m)。
现在我们提出RB猜想：R(n, m) ≥ B(n, m)。
由于R(n, m) ≥ S(n, m)，所以如果SB猜想成立的话，RB猜想也就一定成立。
由于B(n, m)增长得非常快，所以SB猜想未必成立。虽然目前还没有找到SB猜想的反例。
但是RB猜想是非常有可能成立的。
R5定理
根据“解法步数随关卡大小成指数增长的关卡”贴子第34楼和36楼jinyou(金优)先生的说法，我们有：
- R(5, 5) ≥ 48 : rDrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
- R(5, 7) ≥ 170 : rDDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
- R(5, 9) ≥ 494 : rDDDLUdrDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuuuullDDRUldDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuuuurrDDLUdrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
此外，我们还有 R(5, 2 * m + 1) ≥ R(5, 2 * m - 1) * 2.618。
由于 R(5, 2 * 2 + 1) ≥ 48 ≥ 2.6182 + 2。
所以我们有以下R5定理：R(5, 2 * m + 1) ≥ 2.618m + 2。
