(多项式的)因式分解定理(factor theorem)是多项式剩余定理的特殊情况,也就是余项为 0 的情形。

0. 多项式长除法(Polynomial long division)

Polynomial long division - Wikipedia


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1. 因式分解定理

Factor theorem

该定理表达的是,多项式 f(x) 存在因子 xk 当且仅当 f(k)=0(余数为 0,也即 k 是其根)。

对于多项式 f(x)=x3+7x2+8x+2

  • x1 是否为其因子?f(1)0
  • x+1 是否为其因子?f(1)=0,故为其因子;

(多项式除法)又有 x3+7x2+8x+2x+1=x2+6x+2,因此 x+1x2+6x+2 均为其因子。

2. 多项式余项定理

Polynomial remainder theorem

举例对于多项式 f(x)=x312x242,当除数为 x3 时,商为 x29x27,余项为 123。也即,f(x)=(x3)(x29x27)123。因此 f(3)=123

更为一般地,对于二次多项式 f(x)=ax2+bx+c,有如下的等式变换:

f(x)xr=ax2+bx+cxr=ax2arx+arx+bx+cxr=ax(xr)+(b+ar)x+cxr=ax+(b+ar)(xr)+c+r(b+ar)xr=ax+b+ar+c+r(b+ar)xr=ax+b+ar+ar2+br+cxr

所以:

f(x)=(xr)(ax+b+ar)+ar2+br+c

posted on 2017-08-13 10:21  未雨愁眸  阅读(1951)  评论(0编辑  收藏  举报