正交投影算子题目 P88 2.2.5(3)

\section{$\text{投影算子的简述}$}

Hilbert空间$H$上的投影算子$P$与闭子空间$M$是一一对应的，$P=P_M$, $M=P(H)$.

$P$ 在 $M$ 上的限制是恒同.

命题:线性算子 $P$ 是投影算子的充要条件是 $P^2=P=P^*$.即幂等且自伴.

证明: 必要性显然.

充分性: 设 $M=P(H)$, 则由 $P^2=P$ 知 $M$ 是闭子空间, 这是因为如果 $Px_n\to y$, 则由 $P$ 的连续性知 $Px_n=PPx_n\to Py$， 再由极限唯一性知 $y=Py\in P(H)=M$.

对任意 $x\in H$, 我们证明 $(Px-x)\bot M$： $\forall y\in M$, $\exists z\in H$ 使得 $Pz=y$, 则 $(Px-x,y)=(Px-x,Pz)=(P^*Px-P^*x,z)=(PPx-Px,z)=0$. 所以 $Px$ 是 $x$ 在 $M$ 上的投影.

\section{习题 $2.2.5(3)$}

下册38页定理 5.5.8 是一条关于投影算子的重要性质，利用它可以非常简洁地证明上册88页习题2.2.5(3)

有些同学误认为条件蕴含 $P_LP_M=P_{L\cap M}=P_{M\cap L}=P_MP_L$, 但实际上条件只说了 $P_LP_M=P_{L\cap M}$, 并未说 $P_MP_L=P_{M\cap L}$. 现在我们直接使用下册那个定理的证明方法来做2.2.5(3)

证明: 若$P_LP_M=P_{L\cap M}$, 则 $P_LP_M=(P_LP_M)^*=P_M^*P_L^*=P_MP_L$.

反之, 若 $P_LP_M=P_MP_L$, 则 $(P_LP_M)^*=P_M^*P_L^*=P_MP_L=P_LP_M$ 且 $(P_LP_M)^2=P_LP_MP_LP_M=P_LP_LP_MP_M=P_LP_M$ 故 $P_LP_M$ 是投影算子. 又因为 $P_LP_M(H)\subset L$ 且 $P_MP_L(H)\subset M$ 故 $P_LP_M(H)\subset L\cap M$, 又 $P_LP_M(L\cap M)=L\cap M$, 可见 $P_LP_M$ 是闭子空间 $L\cap M$ 上的投影算子, 即$P_LP_M=P_{L\cap M}$.