网络流（五）有上下限的最大流
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网络流（一）基础知识篇
网络流（二）最大流的增广路算法
网络流（三）最大流最小割定理
网络流（四）dinic算法
网络流（五）有上下限的最大流
网络流（六）最小费用最大流问题
转自：https://blog.csdn.net/water_glass/article/details/6823741
问题模型：
给定一个加权的有向图，满足：
(1)容量限制条件：
(2)流量平衡条件：
(2)中的
即除了源汇外，所有点都满足流量平衡条件，则称G为有源汇网络；否则
，即不存在源汇，所有点都满足流量平衡条件，则称G为无源汇网络。
将这类问题由易到难一一解决：
问题[1] 求无源汇的网络有上下界的可行流
由于下界是一条弧上的流必需要满足的确定值。下面引入必要弧的概念：必要弧是一定流要满的弧。必要弧的构造，将容量下界的限制分离开了，从而构造了一个没有下界的网络G’：
1． 将原弧(u,v)分离出一条必要弧：
。（红色表示）
2． 原弧：
。
由于必要弧的有一定要满的限制，将必要弧“拉”出来集中考虑：
添加附加源x, 附加汇y。想像一条不限上界的(y, x)，用必要弧将它们“串”起来，即对于有向必要弧(u, v)，添加(u, y)，(x, v)，容量为必要弧容量。这样就建立了一个等价的网络。
一个无源汇网络的可行流的方案一定是必要弧是满的。若去掉(y, x)后，附加源x到附加汇y的最大流，能使得x的出弧或者y的入弧都满，充要于原图有可行流。
算法：
1. 按上述方法构造新网络(分离必要弧，附加源汇)
2. 求附加源x到附加汇y的最大流
3. 若x的出弧或y的入弧都满，则有解，将必要弧合并回原图；否则，无解。
问题[2] 求有源汇的网络有上下界的可行流
加入边(t, s)，下界为0(保证不会连上附加源汇x, y)，不限上界，将问题[2]转化为问题[1]来求解。
调用dinic算法
1 bool lowbound_flow(int n, int source, int sink) 2 { 3 init(n + 2); 4 vector<int>tot_in(n + 1), tot_out(n + 1); 5 for(int i = 0; i < (int)u.size(); i++) 6 { 7 if(U[i] < L[i])return false; 8 tot_in[v[i]] += L[i]; 9 tot_out[u[i]] += L[i]; 10 addedge(u[i], v[i], U[i] - L[i]); 11 } 12 addedge(sink, source, 100000000); 13 int super_source = n + 1; 14 int super_sink = n + 2; 15 for(int i = 0; i < n; i++) 16 { 17 addedge(super_source, i, tot_in[i]); 18 addedge(i, super_sink, tot_out[i]); 19 } 20 int ans = Maxflow(super_source, super_sink); 21 //cout<<ans<<endl; 22 for(int i = 0; i < G[super_source].size(); i++) 23 { 24 edge& tmp = e[G[super_source][i]]; 25 if(tmp.f != tmp.c)return false;//判断是否满流 不满流则错误 26 } 27 return true; 28 }
问题[3]求有源汇的网络有上下界的最大流
算法：
1. 先转化为问题[2]来求解一个可行流。若可行无解，则退出。由于必要弧是分离出来的，所以就可以把必要弧（附加源汇及其临边）及其上的流，暂时删去。再将(T,S)删去，恢复源汇。
2. 再次，从S到T找增广轨，求最大流。
3. 最后将暂时删去的下界信息恢复，合并到当前图中。输出解。
这样既不破坏下界(分离出来)也不超出上界(第2步满足容量限制)，问题解决。
问题[4]求有源汇的网络有上下界的最小流
算法：
1. 同问题[3]。
2. 从T到S找增广轨，不断反着改进。
3. 同问题[3]。
问题[3]与问题[4]的另一种简易求法：
注意问题[2]中，构造出的(t, s)，上下界几乎没什么限制。下面看看它的性质：
定理：如果从s到t有一个流量为a的可行流f，那么从t到s连一条弧(t, s)，其流量下界b(t, s) = a，则这个图一定有一个无源汇的可行流：除了弧(t, s)的容量为a外，其余边的容量与f相同。
证明：如果从s到t的最大流量为amax，那么从t到s连一条下界b(t, s) = a’ > amax的弧(t, s)，则从在这个改造后的图中一定没有无源汇的可行流：否则将这个可行流中的弧(t, s)除去，就得到了原图中s到t的流量为a’的流，大于最大流量amax，产生矛盾。
可以二分枚举这个参数a，即下界b(t, s)，每次用问题[1]判断是否有可行流。这样就可以求出最大流。
同理，问题[4]要求最小流，只要二分枚举上界c(t, s)即可。
因为朴素的预流推进算法O(N3)，总复杂度为O(N3 log2流量) 。
思路：
无源汇 (附加源汇+最大解决)
有源汇 (附加(T,S)->无源汇)
求有源汇的网络有上下界的最大流：（s-u v-t之间的路省略了）
（1）对于每条边，拉出一条必要弧（下限）
（2）去除T到S的边，然后求S-T的最大流F0
（3）如果S-T的最大流使得所有的S出边流量满，T的入边流量满，问题有解，否则无解
两者只要有一者是满的，另一个一定是满的，因为总的出流量=总的入流量
有解的时候F0 = 所有下界之和
（4）如果有解，在原来S-T的最大流网络的基础上，删去所有与S和T相连的边，并且剩下的每条边的流量都加上下限值，在此基础上继续扩充找增广路，最终的得到的答案就是最大流
挑战中介绍了第4步另一种方法，直接在S->s连+INF的边，t->T连+INF的边，再求一遍S-T的最大流F，那么原图最大流为F-F0（也就是F-下界之和）
