【hihocoder 1424】 Asa's Chess Problem（有源汇上下界网络流）

UVALive-7670
ICPC北京2016-C题 hihocoder 1424

题意

有个 \(N\times N\) 的棋盘，告诉你每个格子黑色(1)或白色(0)，以及每对能相互交换的同行或同列格子，每个格子只在一对中，即共有\(N\times N /2\)对。求最少交换次数使得每行每列的黑格子总数满足给出的上下范围：若最终第i行,第j列分别有\(R[i],C[j]\)个黑格子，那么需要让\(Rl[i]\le R[i]\le Rh[i],Cl[j]\le C[i]\le Ch[j]\)。

如果不存在方案输出-1。

\(T\le 100,2\le N \le 50\)。

题解

判定给定行和列和的01矩阵的存在性可以用网络流来做，所以这题也可以联想到用网络流求解。

建图，建边费用默认0：

• 每一行为一个点，编号rID(i)
• 每一列为一个点，编号cID(i)
• 源点为s，汇点为t
• 第i行第j列为1，则连边rID(i)->cID(j)，上下界都是1
• 连边s->rID(i)，上下界就是该行的限制
• 连边cID(i)->t，上下界就是该列的限制
• (x1,y1)和(x2,y2)可以交换
  • 如果是同色，没有意义，不用管；
  • 如果不同色，假设(x1,y1)是1：
    • 若同行：连边cID(y1)->cID(y2)，上界1，下界0，费用1。
    • 若同列：连边rID(x2)->rID(x1)，上界1，下界0，费用1。

那么如果s到t存在可行流，就代表有解。最大流的最小费用就是最少交换次数。

现在有一个有源汇的带上下界的网络流，我们知道怎么求解无源汇的带上下界的网络流，怎么转化呢？先将有源汇变成无源汇循环流：连边t->s，上界INF，下界0。接着就是将无源汇的带上下界的网络流变成没有下界（其实是下界为0）的网络流：

• 添加超级源点S，超级汇点T
• 原图每条边容量=原来的上界-下界
• 原图每个点u，\(in\) 为流入的流量下界和，\(out\) 为流出的流量下界和
  • \(in>out\)，则连S->u，容量in-out
  • \(in<out\)，则连u->T，容量out-in

S到T跑最大流，如果最大流等于S的出边流量之和，那么就有解。因为要求最小费用，所以跑最小费用最大流。

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另外看到的建图是：

• s->rID(i)或s->cID(i)，上下界是初始的行和或列和
• rID(i)->t或sID(i)->t，上下界是给定的行和或列和的限制
• (x1,y1)和(x2,y2)可以交换，不同的地方就是同列时：连边rID(x1)->rID(x2)。

后面解法就相同了。。。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define rep(i,l,r) for(int i=0,ed=r;i<ed;++i)
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 200;
const int M = 100001;
using namespace std;

namespace MinCostMaxFlow {
	struct edge{int to,nxt,cap,flow,cost;}e[M];
	int head[N],cnt;
	int pre[N],dis[N];
	bool vis[N];
	void init(){
		cnt=0;mem(head,-1);
	}
	void addEdge(int u,int v,int w,int c=0){
		e[cnt]=(edge){v,head[u],w,0,c};head[u]=cnt++;
		e[cnt]=(edge){u,head[v],0,0,-c};head[v]=cnt++;
	}
	bool spfa(int s,int t,int n){
		queue<int>q;
		rep(i,0,n)dis[i]=INF,vis[i]=0,pre[i]=-1;
		dis[s]=0;vis[s]=1;q.push(s);
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
			for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
				int v=e[i].to;
				if(e[i].cap>e[i].flow && dis[v]>dis[u]+e[i].cost){
					dis[v]=dis[u]+e[i].cost;pre[v]=i;
					if(!vis[v]){vis[v]=1;q.push(v);}
				}
			}
		}
		if(pre[t]==-1)return 0;
		return 1;
	}
	int solve(int s,int t,int n,int &cost){
		int flow=0;
		cost=0;
		while(spfa(s,t,n)){
			int Min=INF;
			for(int i=pre[t];~i;i=pre[e[i^1].to])
				if(Min>e[i].cap-e[i].flow)Min=e[i].cap-e[i].flow;
			for(int i=pre[t];~i;i=pre[e[i^1].to])
				e[i].flow+=Min,e[i^1].flow-=Min,cost+=e[i].cost*Min;
			flow+=Min;
		}
		return flow;
	}
}

int n;
int a[N][N];
int S=1,T=2,s=3,t=4;
int need;
int in[N];

void add(int u,int v,int w,int c=0){
	if(u==S)need+=w;
	if(!w)return;
	MinCostMaxFlow::addEdge(u,v,w,c);
}

void init(){
	MinCostMaxFlow::init();
	need=0;
	mem(in,0);
}

inline int rID(int row){
	return row+t+1;
}

inline int cID(int col){
	return col+t+1+n;
}

void build(int k){
	if(in[k]>0)add(S,k,in[k]);
	else add(k,T,-in[k]);
}

void solve(){
	int ans;
	int ok=need==MinCostMaxFlow::solve(S,T,cID(n-1)+1,ans);
	printf("%d\n",ok?ans:-1);
}

int main(){
	while(~scanf("%d",&n)){
		init();
		
		rep(i,0,n)rep(j,0,n){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			if(a[i][j]){
				--in[rID(i)];
				++in[cID(j)];
			}
		}
		
		rep(i,0,n){
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			add(s,rID(i),r-l);
			in[rID(i)]+=l;in[s]-=l;
		}
		
		rep(i,0,n){
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			add(cID(i),t,r-l);
			in[cID(i)]-=l;in[t]+=l;
		}
		
		rep(i,0,n)
			rep(j,0,2)
				build(j?rID(i):cID(i));
		
		build(s);build(t);
		add(t,s,INF);
		
		rep(i,0,n*n/2){
			int x1,y1,x2,y2;
			scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
			--x1;--y1;--x2;--y2;
			if(a[x1][y1]^a[x2][y2]){
				if(x1==x2){
					if(a[x1][y1])swap(y1,y2);
					add(cID(y2),cID(y1),1,1);
				}
				else{
					if(a[x1][y1])swap(x1,x2);
					add(rID(x1),rID(x2),1,1);
				}
			}
		}
		
		solve();
	}
	return 0;
}