数论学习笔记(一)
近期学了一下简单数论，整理一下。
一、算数基本定理:
1.定义： 一个大于1的正整数\(N\), 标准分解式
2.性质：
- 正因数个数
- 正因数和
二、欧拉函数：
1. 定义：\(\varphi(x)\)表示小于x的数中有多少个数与x互质
2. 通式：
如何理解?
首先举个栗子：\(12=2^2·3 \quad \varphi(12)=12·(1-\frac{1}{2})·(1-\frac{1}{3})\)
用容斥的思想：12里有\(\frac{1}{2}\)的数是2的倍数，也有\(1-\frac{1}{2}\)的数不是2的倍数。(1,3,5,7,9,11)
那么这6个数中，又有\(\frac{1}{3}\)的数是3的倍数。
所以，有\((1-\frac{1}{2})·(1-\frac{1}{3})\)的数既不2的倍数，也不是3的倍数。
这样一来，通式也就好理解了！
x中有\((1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})\)个数满足\(p_1...p_n\)均不是其因子，即与x互质。
3.性质：
① 对质数p，\(\varphi(p)=p-1\)
② 若n唯一分解\(\;n=p^k\)，那么
③ 欧拉函数是积性函数，若\(a,b\)互质，
n为质数时，
④ 欧拉定理：对于互质整数\(a,m\)，有
费马小定理：对质数\(p\)，
⑤ 小于n的数中，与n互质的数的总和为：
⑥
因为是一条非常重要的性质，所以我自己想法子证明了一波：
\(\text{令}f(n)=\sum_{d|n}^{}\varphi(d)\)
\(\text{则}f(p_i^{k})=\varphi(1)+\varphi(p_i)+\varphi(p_i^{2})+\varphi(p_i^{3})+...+\varphi(p_i^{k})\)
\(\quad \quad\quad \;\;\;=1+(p_i-1)+(p_i^{2}-p_i)+(p_i^{3}-p_i^{2})+...+(p_i^{k}-p_i^{k-1})\)
\(\quad \quad\quad \;\;\;=p_i^{k}\)
设\(n=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*...*p_k^{e_k}\)
∴ \(\sum_{d|n}\varphi(d)=f(n)\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\;=f(p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*...*p_k^{e_k})\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\;=f(p_1^{e_1})*f(p_2^{e_2})*f(p_3^{e_3})*...*f(p_k^{e_k})\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\;=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*...*p_k^{e_k}\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\; =n\)
证毕。
再放一下大佬的证明：
考虑1...n的所有整数，若\(gcd(i,n)=d\)，即\(gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1\)
又 \(\frac{i}{d}\) 是不超过 \(\frac{n}{d}\) 的整数。
∴ 这样的 \(i\) 有 \(\varphi(\frac{n}{d})\) 个
∵ \(d|n\)，我们也就考虑到了所有的d。
即：\({n= \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})}=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)
⑦ 若p是质数
第二个式子很好理解，p是质数，i不是p的倍数，即i与p互质。
第一个式子,根据通式可得：
因为\(p\)是\(i\)的质因子，所以\(S_i=S_{i*p}\)。
所以
4. 求欧拉函数
- 单个求： 直接根据定义在\(\sqrt{x}\)范围枚举x的质因子即可。复杂度\(O(\sqrt{n})\)
inline int phi(int x)
{
int ret=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==0) ret=ret/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
return ret;
}
- 筛法求：
因为积性函数\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\quad (a \perp b )\)
欧拉筛中每次筛\(i*prime[j]\)，所以我们可以在欧拉筛中线性求积性函数。
关于\(phi[i*prime[j]]\)的值，见性质中最后一条。
inline void Pre()
{
notpr[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!notpr[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
notpr[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
}
既然理论知识已经基本了解了，我们来搞几道题。
一、P2303 [SDOi2012]Longge的问题
简单的推一波式子：
\(\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)\)
\(=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n([gcd(i,n)=d]·d)\)
\(=\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\)
\(=\sum_{d|n}d·\varphi(\frac{n}{d})\)
然后单个求欧拉函数就好了，注意枚举到\(\sqrt{n}\)即可。
code:
int main()
{
cin>>n;
for(ll i=1;i*i<=n;i++)
{
if(i*i==n){ans+=i*phi(i);break;}
if(n%i==0) ans+=i*phi(n/i)+(n/i)*phi(i);
}
cout<<ans;
}
二、P2158 [SDOI2008]仪仗队
首先我们把左下角的点看做(0,0)点。
我们要求的也就是有多少条过(0,0)点的不重合的形如\(y=kx\)的直线。
也就是求有多少个不同的k值。
设\(P(x,y),\quad k=\frac{y}{x}\)
首先k值不同当且仅当(x,y)互质。
又不同的互质数相除得数肯定不同。
所以我们要求的就是n范围内有多少对(x,y)互质。
即\(\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{x-1}[gcd(x,y)=1]\)
\(=\sum_{x=1}^{n-1}\varphi(x)\)
\(\varphi(n)\)表示小于n的数里与n互质的数，也就是说我们只求了x>y的情况，需要再把结果*2。
然后注意一下(1,0),(0,1),(1,1)这三个点的特判。
int main()
{
read(n);Pre();
if(n==1){puts("0");return 0;}
for(int i=2;i<n;i++) ans+=phi[i]*2;
W(ans+1);
}
三、P1447 [NOI2010]能量采集
给你一个n·m的方阵,问每个点与原点的连线中有多少点(不包括横纵坐标为0的)*2+1再求和,
\(\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y)*2-1\)
\(2*(\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y))-n*m\)
我们只考虑一下中间那个东西：
\(\;\;\;\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y)\)
\(=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)\)
\(=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)·(n/d)·(m/d)\)
求一下phi的前缀和然后套数论分块就好了。
