关于积性函数的一些知识

前言

最近在学习一些玄学的数学知识（如莫比乌斯反演和杜教筛）时，我发现自己对于一些数学的理论知识了解得还不够多（不像\(XRY\)奆佬一样初一就把大学数学学完了），于是决定好好去学习一下这面的知识。

例如关于积性函数的知识，就是比较重要的一块内容。

定义

什么是积性函数？

其实它的定义还是很好理解的：若对于一个数论函数\(f(x)\)，已知\(f(x)=1\)，且对于任意互质的正整数\(p,q\)都满足\(f(pq)=f(p)f(q)\)，则称该函数\(f(x)\)为一个积性函数。

这么说来，貌似我们比较常用的如\(\phi(n)\)和\(\mu(n)\)等函数似乎都属于积性函数。

实际上，我们平时常见的一些数论函数实际上都属于积性函数！

由此可见积性函数之重要性。

常见种类

下面我们介绍一些比较常见的积性函数：

欧拉函数：\(\phi(n)\)

该函数表示的是不大于\(n\)且与\(n\)互质的数的个数。

表达式：\(\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]\)

莫比乌斯函数：\(\mu(n)\)

关于它可以去看看这一篇博客：初学莫比乌斯反演。

约数个数：\(d(n)\)

表达式：\(d(n)=\sum_{i|n} 1\)

约数和函数：\(\sigma(n)\)

表达式：\(\sigma(n)=\sum_{i|n}i\)

一些完全积性函数

下面介绍一些比较简单、但是用处很大的完全积性函数。（关于它们的用处可以参考博客初学狄利克雷卷积）

对了，首先要讲一讲什么是完全积性函数。

上面在积性函数的定义中提到，对于任意互质的正整数\(p,q\)满足\(f(pq)=f(p)f(q)\)的函数是积性函数，而把"互质"这个条件去掉，得到的函数就是完全积性函数。

常见的完全积性函数有一下几个：

元函数：\(e(n)\)

表达式：\(e(n)=[n==1]\)

（不知道是否有人跟我一样想到了莫比乌斯函数的某个性质：\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)）

恒等函数：\(I(n)\)

表达式：\(I(n)=1\)

单位函数：\(id(n)\)

表达式：\(id(n)=n\)

后记

关于积性函数的一些知识差不多就是这些了。

关于更多的内容，可以去看一下另一篇博客：初学狄利克雷卷积，里面也涉及到一些与积性函数相关的内容。