POJ 1091 跳蚤
这道题目与数学的联系非常紧密。如果把题目抽象成一个数学问题的话，其实就是，给定N, M, 找到所有的组合 x1, x2, ..., xn, 满足存在p1, p2, ...pn, q, 从而使 x1p1+x2p2 + x3p3 +...+xnpn + q M = 1. 这里其实用到了数论里的一个定理：
ax + by = c has solution if and only if d | c where d = gcd(a,b).
根据这样一个定理，我们就知道了，我们其实要找的就是所用满足x1, x2, ... xn, M 最大公约数为1的组合的个数。
直接找其实很麻烦。我们找问题的反面。假设他们的最大公约数不为1，那么他们的最大公约数一定是M的约数。我们找到M的所有质约数，然后枚举所有的情况，找到不符合要求的总数目。然后再用总的组合减去不符合要求的，即是我们最终要得到的结果。这里还要注意容斥原理的应用。举个例子，30的质约数有2，3，5， 但是我们不能直接找到最大公约数为2，3，5的数目，然后把它们加起来。这样会有重复。正确的方法是， num(2) + num(3) + num(5) - num(2*3) - num(2 * 5) - num(3*5) + num(2*3*5). 其中num(i)代表公约数为i时数的个数。
