线性代数笔记2——向量(向量简介)

什么是向量

  在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。

  如果用Rn表示n个实数的有序集,Rn中的一个向量就是一个n元有序组,Rn = {(x1, x2,……xn) | xi ∈ R}

  向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作实际上向量有多种记法,可以用元组表示一个向量,如 (x1, x2) 或 < x1, x2>。在线性代数中,n元向量可以用n×1矩阵表示,如:

  向量中的每个元素xn,都称作向量的一个分量。

向量的模

  向量的模即向量的长度,如果A是n维向量,则A的模标记为:

单位向量和零向量

单位向量

  单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量,单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。

  一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是:(n,k) ,则有n²+k²=1。

  平面上有两点原点O(0, 0)和P(1, 2),则向量OP = <1 – 0, 2 - 0> = <1, 2>向量OP方向的单位向量可以表示为:

零向量

   所有分量都为0的向量是零向量,零向量没有方向。

向量与直角坐标系

  单位向量在平面直角坐标系的表示:

  我们将原点称为标准位置,实际上单位向量的起点可以在任何位置,指向任何方向,只要满足模为1即可。

  如果有一个向量a = (-1, 2):

  上图中向量的起点是原点,实际上(x1, x2)作为R2中的一个向量,可以是直角坐标系中的任意位置。如果以(-2,2)为起点,则a的终点是[-2,2]T + [-1, 2]T = [-3, 4]T如下图所示:

  这都可以表示(-1,2),可以说(-1,2)是一族向量,有无限多种表示法,它们的方向相同,模相等。为了简单起见,通常以原点作为向量的起点。

向量的加法和数乘

加法

  向量的加法运算同矩阵的加法,我们需要理解的是矩阵加法在二维直角坐标系中系上的几何意义。

  下面一组图都是a + b合法的表示:

[0,0]T + a = [-1,2]T, [0,0]T + b = [3,1]T, a + b = [2,3] T

[0,0]T + a = [-1,2]T, [-1,2]T + b = [2,3]T, a + b = [2,3] T

[0,0]T + a = [-1,2]T, [-3,-1]T + b = [0,0]T, a + b = [2,3] T

数乘

  一个向量乘以一个标量:

 

  可以看到,向量的乘法其实是对原向量的伸缩;如果乘以正数,方向与原向量相同;乘以负数,方向与原向量相反。

减法

  由向量的加法和数乘可知,x – y = x + (-1)×y,相当于先将y调转,再与x相加。

向量与方程组

  方程组 可以看成

  在坐标系中可以直观地展示该方程组:

c = a + 2b

总结

  1. 向量,指具有大小和方向的量
  2. 单位向量是指模等于1的向量,一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是:(n,k) ,则有n²+k²=1
  3. 所有分量都为0的向量是零向量,零向量没有方向
  4. 向量的加法和数乘运算同矩阵运算,可扩展到任意纬度的向量
  5. 向量可以直观地展示线性方程组

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

 

 

posted on 2017-10-20 19:52 我是8位的 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

导航

公告