【笔记】模运算

//参考：模运算_百度百科

一、概念：对于一个数n，给定一个数p，一定存在等式 n = k * p + r ，其中k、r是整数，且0 ≤ r ＜p。

则称k为n除以p的商，r为n除以p的余数，即 n / p = k (/为整除)，n % p = r(%、mod为模运算)。

->注意：

1、若a % p = b % p，则a与b同余，记为a ≡ b % p，或a ≡ b ( mod p )。

2、模运算的结果的正负取决于被除数n，与除数p无关。例：7 % 4 = 3 ， 7 % -4 = 3 ，-7 % 4 = -3 ，-7 % -4 = -3。

二、性质：

1、若p|( a - b ) ( p 是 a - b 的约数 )，则 a ≡ b ( mod p )。

2、对称性：a ≡ b ( mod p ) <=> b ≡ a ( mod p )。

3、传递性：若a ≡ b ( mod p ) 且 b ≡ c ( mod p )，则 a ≡ c ( mod p )。

三、运算法则：

加法：( a + b ) % p = ( a % p + b % p ) % p

减法：( a - b ) % p = ( a % p - b % p + p ) % p

->可以处理一些要求模的结果必须为正数的题目，将负的结果加上模数p后再次取模。

乘法：( a * b ) % p = ( a % p * b % p ) % p

模运算没有除法！！！

乘方：( a＾b ) % p = ( ( a % p )＾b ) % p

四、运算律:

1、交换律：

( a + b ) % p = ( b + a ) % p

( a * b ) % p = ( b * a ) % p

2、结合律：

(( a + b ) % p + c ) % p = ( a + ( b + c ) % p ) % p

(( a * b ) % p * c ) % p = ( a *  b * c ) % p

3、分配律：

(( a + b ) % p * c ) % p = (( a * c ) % p + ( b * c ) % p ) % p

五、定理：

1、若 a ≡ b ( mod p )， 则对于任意c,都有 ( a + c ) ≡ ( b + c ) ( mod p ) , ( a * c ) ≡ ( b * c ) ( mod p )。

2、若 a ≡ b ( mod p ) , c ≡ d ( mod p )，则 ( a + c ) ≡ ( b + d ) ( mod p )，( a - c ) ≡ ( b - d ) ( mod p )，( a * c ) ≡ ( b * d ) ( mod p )