数学后花园

摘要： 我们定义一个函数$f$的支集$${\rm supp}f=\overline{\{x:f(x)\neq0\}}$$ 数学分析中一个常见的例子，考虑如下函数$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq0\\0&x=0\end{matrix}\r 阅读全文

摘要： 复分析中最基本的结果当属Cauchy积分公式了,即若$D$是由可求长简单闭曲线$\gamma$围成的区域,并且$f\in H(D)\cap C(\overline{D})$,则$\forall z\in D$有$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\ 阅读全文

摘要： 设$E$是复平面$\mathbb C$中的任意点集,那么$\mathbb C$中的点可分为三类： 1)点$a\in\mathbb C$称为$E$的内点,如果存在$r>0$使得$B(a,r)\subset E$,内点的全体称为内部,用集合用$E^{\circ}$表示; 2)称为$E$的外点,如果$B( 阅读全文

摘要： 设$\Omega$是一个集合,那么群$G$到对称群$S(\Omega)$的每个同态$\phi:G\to S(\Omega)$叫做群$G$在集合$\Omega$上的一个置换表示.特别的如果$\phi$是单的,那么称$\phi$是忠实表示. 注意群$G$中任意元素$g$在$\phi$下的像$\phi(g 阅读全文

摘要： 接着上一节，为了研究置换群的结构,我们来考虑对称群$S_n$和交错群$A_n$的的生成元系. 定理1 对称群$S_n$可以由$(12),(13),\cdots,(1n)$生成，即$S_n=<(12),(13),\cdots,(1n)>$. 证明 首先$<(12),\cdots,(1n)>\subse 阅读全文

摘要： 我们把集合$\sum$到自身的一个一一对应$\sum$叫做$S$上的一个置换,以$S(\sum)$表示$\sum$上的全体置换构成的集合,我们定义两个置换$\sigma,\tau$的乘法运算为二者关于映射的复合运算$$\sigma\cdot\tau=\sigma\circ\tau\Leftright 阅读全文

摘要： 同态基本定理 设$f:G\to H$为群同态,那么同态核${\mathrm {Ker}f}\triangleleft G$,且$G/\mathrm{Ker}f\simeq\mathrm{Im}f$.反过来如果$K\triangleleft G$,那么映射$\pi:G\to G/K,g\mapsto 阅读全文

摘要： 设$H<G$,全体左陪集构成的集合$\overline{G}=\{gH:g\in G\}$,我们希望赋予$\overline{G}$群的结构,很自然的定义乘法为$$aH\cdot bH=abH$$容易验证此运算下有幺元$H$,以及任意的$aH\in\overline{G}$有逆元$a^{-1}H$. 阅读全文

摘要： 设$G$为群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,记作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由于子群之交仍然是子群,这说明包含$S$的子群中确实有最小的.显然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\i 阅读全文

摘要： 正规化子 设集合$M$是群$G$的子集(未必是群),定义$N_G(M)=\left\{g\in G:gMg^{-1}=M\right\}$,不难验证$N_G(M)$是群$G$的子群,称为$M$在群$G$中的正规化子. 中心化子 定义$C_G(M)=\left\{g\in G:ga=ag,\foral 阅读全文