威佐夫博弈

像是尼姆博弈的一种变体

参见百度[https://baike.baidu.com/item/威佐夫博弈/19858256]

描述：威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？
我们有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

写在证明前

我们用（a[k]，b[k]）表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。这里我有点疑问

奇数局势的性质

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于a[k]是未在前面出现过的最小自然数（保证每一个自然数都能包括在内），所以有a[k] > a[k-1] ，而 b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。a[k]和b[k] 都是单调递增的函数（保证每一个自然数只存在一次）
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（a[k]，b[k]）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（a[k]，b[k]）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差（差值为k），因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。需要强调的是a[k]和b[k]互换位置没有关系，因为两者在一开始就是没有顺序的关系，而且无论我们怎么对两个数取值，都会落在一个确定的a[k]或b[k]中，因为a[k]和b[k]就是全体自然数
假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = a[k] ，b > b[k] 那么，取走b - b[k]个物体，即变为奇异局势；如果 a = a[k] ， b < b[k] 则同时从两堆中拿走a-a[b-a]（注：这里b-a是a的下标， 不是a*(b-a)） 个物体变为奇异局势（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；如果a > a[k] ，b= a[k] + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - a[k] 即可；如果a < a[k] ，b= b[k],分两种情况，第一种，a=a[n] （n< k）从第二堆里面拿走 b - b[n] 即可；第二种，a=b[n] （n < k）从第二堆里面拿走 b - a[n] 即可。

证明

1. （0，0）是奇数局势，不包括在非奇数局势的集合中，对于先手而言，如果面对的是非奇数局势，就一定可以变成奇数局势（方法如上），等对手移动，无论怎么移动都会使先手进入非奇数局势，（证明如上），反复循环，数字只会越来越小，先手永远不会进入奇数局势的集合中，而后手一定离不开奇数局势的集合到最后（0，0） 的状态，后手失败，同理，开始是奇数局势，则后手永远不会进入奇数局势的集合中，而先手一定离不开奇数局势的集合到最后（0，0） 的状态，先手失败。