单位根反演

单位根反演

通常用于求 \(\sum[x\mid i]f_i\)。

形式

\[[n\mid k]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik} \]

其中 \(\omega_n\) 是 \(n\) 次单位根，模意义下可以被原根替换。

证明

当 \(n\mid k\) 时，\(\omega_n^{ki}=1\)。所以右边等于 \(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}1=1\)。

当 \(n\nmid k\) 时，右边等比数列求和：

\[\frac{1}{n}\times\frac{\omega_n^{nk}-1}{\omega_n^k-1} \]

因为 \(\omega_n^{nk}=1\) 所以柿子等于 \(0\)。

推论

一个更加常用的形式：设 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^nf_ix^i\)，有

\[\sum\limits_{i=0}^n[p\mid i]f_i=\frac{1}{p}\sum\limits_{j=0}^{p-1}F(\omega_p^j) \]

从原形式推一下就行。

不一定要从 \(x^0\) 开始。有 \(x\) 的负次幂项也是可以的。

LibreOJ #6485

给定 \(T\le10^5\) 组 \(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\)，求

\[\large{[\sum\limits_{i=0}^n(\binom{n}{i}\cdot s^i\cdot a_{i\space\bmod\space4})]\space\bmod\space998244353} \]

\(1\le n\le10^{18},1\le s,a_0,a_1,a_2,a_3\le10^8\)。

对 \(i\equiv0,1,2,3(\bmod\space4)\) 分类讨论：

当 \(i\equiv0(\bmod\space4)\) 时：

即求 \(S_0=a_0\sum\limits_{i=0}^n[4\mid i]\binom{n}{i}s^i\)。

构造 \(F_0(x)=(sx+1)^n\)，单位根反演，\(S_0=\frac{a_0}{4}\sum\limits_{j=0}^3F_0(g^j)\)，其中 \(g\) 是 \(\bmod\space998244353\) 的 \(4\) 次单位根。

当 \(i\equiv1(\bmod\space4)\) 时：

即求 \(S_1=a_1\sum\limits_{i=0}^n[4\mid(i-1)]\binom{n}{i}s^i\)

构造 \(F_1(x)=\frac{F_0(x)}{x}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\cdot s^i\cdot x^{i-1}\)，那么 \(S_1=\frac{a_1}{4}\sum\limits_{j=0}^3F_1(g^j)\)。

\(i\equiv2(\bmod\space4)\) 和 \(i\equiv3(\bmod\space4)\) 的情况类似。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int mod = 998244353;
using ia = long long;

int T;
ia n, s, a[4];

inline ia qpow(ia b, ia p) {
    ia res = 1;
    for (; p; p >>= 1) {
        if (p & 1)
            res = res * b % mod;
        b = b * b % mod;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld", &n, &s);
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        ia G = qpow(3, (mod - 1) >> 2);

        ia S[4] = {0, 0, 0, 0};
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            ia x = qpow(G, j);
            ia inv_x = qpow(x, mod - 2);
            for (int i = 0; i < 4; i++)
                (S[i] += qpow((s * x + 1) % mod, n) * qpow(inv_x, i)) %= mod;
        }
        for (int j = 0; j < 4; j++)
            S[j] = S[j] * a[j] % mod * qpow(4, mod - 2) % mod;
        std::cout << (S[0] + S[1] + S[2] + S[3]) % mod << '\n';
    }
    return 0;
}